补充点数学知识-高宏

补充点数学知识一、微分方程的解及其稳定性i.i.i.i.线性微分方程组考虑线性微分方程组⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(22211211ttttyyyyaaaattttxxxxaaaattttyyyyttttyyyyaaaattttxxxxaaaattttxxxẋ̇记上面方程组的系数矩阵为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211aaaaaaaaaaaaaaaaAAAA假设它的两个特征根为实根，那么，2112221121221121aaaaaaaaaaaaaaaarrrrrrrraaaaaaaarrrrrrrr−=+=+微分方程组的解在两个特征根不相等时为：ttttrrrrttttrrrreeeeAAAAeeeeAAAAttttxxxx2121)(+=ttttrrrrttttrrrreeeeAAAAaaaaaaaarrrreeeeAAAAaaaaaaaarrrrttttyyyy21212112112111)(−+−=微分方程组的解在两个特征根相等时为ttttrrrreeeettttAAAAAAAAttttxxxx2)()(21+=ttttrrrreeeettttAAAAAAAAaaaaaaaarrrrttttyyyy2)()(2112111+−=其中AAAA1111和AAAA2222为待定常数，它们由初始条件决定。����稳定性定义*)*,(yyyyxxxx叫做微分系统的均衡点，如果在该点满足0*)*,(*)*,(==yyyyxxxxyyyyxxxxyyyyxxxẋ̇均衡点*)*,(yyyyxxxx叫做渐进稳定的，如果从任意的初始点出发，系统的解满足*)*,())(),((limyyyyxxxxttttyyyyttttxxxxtttt=∞→均衡点*)*,(yyyyxxxx叫做鞍点稳定的，如果存在初始点（xxxx(0)(0)(0)(0)，yyyy(0)(0)(0)(0)），从它出发系统的解满足*)*,())(),((limyyyyxxxxttttyyyyttttxxxxtttt=∞→����判断均衡点的稳定性对于特征根为实根的情形，当0,21rrrrrrrr，均衡点是不稳定的；当0,21rrrrrrrr，均衡点是稳定的；当21,rrrrrrrr中一个为正，另一个为负，均衡点是鞍点稳定的。����非线性微分方程组解的稳定性对于非线性系统，我们首先需要在其均衡点进行一阶TaylorTaylorTaylorTaylor展开将其转换为线性系统，然后讨论其解的稳定性。⎩⎨⎧==))(),(()())(),(()(tytxgtytytxftẋ̇*)(*)*,(*)(*)*,()(yyyyyyyyyyyyyyyyxxxxffffxxxxxxxxxxxxyyyyxxxxffffttttxxxx−∂∂+−∂∂=̇静态优化问题经济学离不开最优化。有关优化问题解的存在性唯一性等这里都不将讨论。给定一个优化问题，如何求解（假设解存在的话）。一维的问题讲起。第一步：先将问题表示成极大化（如原始问题是极小化，将目标函数变号）)(xUMax第二步：将限制条件标准化成：SUBJECTTO:0)(≥xf第三步：写出Lagrangian()()LUxfxλ=+第四步：推出一阶条件：0;()()0LUxfxxλ∂′′=+=∂第五步：列出松驰条件（ComplementarySlacknessCondition）0;()0fxλλ≥=:第六步：综合求解。这里需要作点解释。第三步是将一个带限制的极值问题化为一个无限制的问题：拉格朗日乘子的经济含义是影子价格(shadowprice),它必须取适当的单位才能使得目标函数和限制条件相加有意义。λ表明决策者愿意付出的代价以换取比()0fx≥宽松一点点的限制条件。第五步的经济含义也就很清楚了。第五步加上限制条件本身()0fx≥说明：如果()0fx〉则λ必为零。换句话说，如果λ0,则必定因为()0fx=。即：你作为决策人如果愿意付出来换取比()0fx≥宽松一点点的限制条件，那必然是因为你已经用尽了对你的限制，即()0fx=(在这种情况下,我们叫()0fx=紧约束，abindingcontraint)。如果()0fx〉(相应地,为松约束non-binding),你是不愿意付任何代价的。上边的解题步骤虽然是就一维而言，对多维及多重限制条件如此类推。下面举一个二维二重限制条件的例子。Supposeyouliketoeatcandy(denotedbyc)andham(denotedbyh).Thehappinessyouobtainfromthesetwoconsumptiongoodsisgivenby(,)2lnlnUchch=+.Onecandycosts$1andonepieceofhamcosts$5.Yourparentsgiveyou$30tospendonthetwogoods,.Buttheydonotallowyoutoeatmorethan15candies,.Howwouldyouspendthemoney?练习：如果(,)ln2lnUchch=+，:3050150subjecttochc−−≥−≥则？？？����凸规划问题：min()xCfx∈其中ffff((((xxxx))))为正常凸函数。受约束于mmmmiiiixxxxggggiiii,,1,0)(⋯=≥ppppjjjjxxxxhhhhjjjj,,1,0)(⋯==nnnnppppmmmm≤,。定义LagrangeLagrangeLagrangeLagrange函数∑∑==µ−λ−=µλppppjjjjjjjjjjjjmmmmiiiiiiiiiiiixxxxhhhhxxxxggggxxxxffffxxxxLLLL11)()()(),,(（KKKKuhn-Tuckeruhn-Tuckeruhn-Tuckeruhn-Tucker，库恩——塔克定理）::::若xxxx****为问题的解，则存在LagrangeLagrangeLagrangeLagrange乘子0)*,,*(*1≥λλ=λmmmm⋯，)*,,*(*1mmmmµµ=µ⋯满足一阶条件nnnnjjjjxxxxxxxxhhhhxxxxxxxxggggxxxxxxxxffffppppkkkkjjjjkkkkkkkkmmmmiiiijjjjiiiiiiiijjjj,,1,0*)(**)(**)(11⋯==∂∂µ−∂∂λ−∂∂∑∑==松弛条件mmmmiiiixxxxggggxxxxggggiiiiiiiiiiiiiiii,,1,0*)(,0*)(*,0*⋯=≥=λ≥λ根据一阶条件和松弛条件求解。若在约束条件中增加变量0≥iiiixxxx。若xxxx****为问题的解，则存在LagrangLagrangLagrangLagrangeeee乘子0)*,,*(*1≥λλ=λmmmm⋯，)*,,*(*1mmmmµµ=µ⋯满足一阶条件nnnnjjjjxxxxxxxxxxxxhhhhxxxxxxxxggggxxxxxxxxffffjjjjppppkkkkjjjjkkkkkkkkmmmmiiiijjjjiiiiiiiijjjj,,1,0**)(**)(**)(11⋯==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂µ−∂∂λ−∂∂∑∑==nnnnjjjjxxxxxxxxxxxxhhhhxxxxxxxxggggxxxxxxxxffffjjjjppppkkkkjjjjkkkkkkkkmmmmiiiijjjjiiiiiiiijjjj,,1,0*,0*)(**)(**)(11⋯=≥≥∂∂µ−∂∂λ−∂∂∑∑==松弛条件mmmmiiiixxxxggggxxxxggggiiiiiiiiiiiiiiii,,1,0*)(,0*)(*,0*⋯=≥=λ≥λ根据一阶条件和松弛条件求解。LagrangeLagrangeLagrangeLagrange乘子的经济含义为当系统参数变化一个单位时，系统的最优值的变化量。动态优化（离散时间）如果动态优化问题是处理离散时间withFiniteHorizon,那么解决办法与静态相同。可是，当问题推广到InfiniteHorizon的情形，大家需要注意横截条件（TransversalityCondition，TVC).下面我将慢慢引入TVC这概念及其经济含义。考虑一个经典的吃蛋糕问题(CakeEatingProblem)。考虑一个如下的具有T限期的吃蛋糕问题。行为人在第一期的期初有00A单位的消费品可供消费。她能无成本地把消费品从的这一期保存到下一期。她的偏好由下式的效用函数代表：)(0tTttcu∑=β这里，tc是时期t的消费，10β是主观时间贴现率。请问应该怎样吃才能使效用极大化?[分析]用记录在时间t初始还剩下的蛋糕.根据定义:01k=.限制条件可被表示为:001kcko−−≥……11tttkcko−−−−≥1tttkcko+−−≥1TTTkcko+−−≥除了上述显性限制外，还有那些隐性限制？？：;0ttcok≥≥f稍作思考，我们知道这些限制中，除了10Tk+=是”binding”外,其它都是”nonbindingconstraints”。所以我们得加上这个”bindingconstraint”:10Tk+=现在，让我们写下Lagrangian:+…+…一阶条件(FirstOrderConditionsorFOCs)：列出complementaryslacknessconditions下面来解上述方程及不等式。首先(3.2)可推出0〉tλforanyt,所以(3.7)说明：,t=0,1,2,…,T其次，结合(3.4)和(3.9)导出：1110TtTkβλ+=当T取有限值时（即FiniteHorizon），(3.11)推出,10Tk+=即死之前吃光所有的蛋糕。当T取无限值时（即当你长生不老），10Tk+=的自然推广似乎应当是。值得注意的是：虽然在吃蛋糕这个问题中，这个推广是对的，但并非永远是正确的优化必要条件。正确的必要条件是(11)的自然推广:112lim0ttttkβλ+→∞=(12)便是所谓的横截条件（边界条件，TransversalityCondition(TVC)underinfinitehorizon。1lim0ttk+→∞=在经济增长的模型中可能就不成立，而TVC则是成立的。其经济含义我下面将有解释。再者，（3.2）（3.3）可导出：113,0,1,2,,ttcctTβ−==⋯最后，利用(3.13)解(3.10)同时注意到：01k=，10Tk+=0,1,2,11[]1tttTtcβββ=+−=−⋯动态优化（连续时间）动态优化（连续时间andandandandInfiniteHorizonInfiniteHorizonInfiniteHorizonInfiniteHorizon）。许多情况是连续的最简单的情形：onecontrolvariable(x)andonestatevariable(z).第一步：将问题标准化如下01()2:()((),())ttMAXeUcdtsubjecttoZtgxtztρ∞−•=∫3((),())0(0)fxtztz≥，给定这里，z是状态变量，限制条件(2)描述z怎样随时间变化。一旦控制变量x的路径决定了，那么z的路径也就确定了；反之也然。teρ−的含义和离散情形下的βt是一样的。称为贴现因子discountfactor;ρ称为时间偏好率（therateoftimepreference）第二步：写出HamiltonianH=U(x)+λf(x;z)+μg(x;z)这里，λ是限制条件(3)带来的拉格朗日乘子，无（3）则无λ项。μ称为状态程（2）的Hamiltonian乘子。注意在写Hamiltonian时(2)的左边ż并不出现。第三步：导出一阶条件:506HxHzµρµ•∂=∂∂=−∂第四步：列出complementaryslacknessconditions（如有限制条件（3）有的话）:70,()0fxλλ≥=第五步：加上TVC:8lim0ttzeρµ−→∞=