就可以用概率密度函数来表示原始图像的灰度分布

什么是灰度级的直方图呢？简单地说，灰度级的直方图就是反映一幅图像中的灰度级与出现这种灰度的概率之间的关系的图形，是图像重要的统计特征。灰度直方图是图像的一种统计表达，它反映了该图中不同灰度级出现的统计概率。在灰度级中，r=0代表黑，r=1代表白。设变量r代表图像中像素灰度级。在图像中，像素的灰度级可作归一化处理，这样，r的值将限定在下述范围之内:10r(4—4)对于一幅给定的图像来说，每一个像素取得[0，1]区间内的灰度级是随机的，也就是说是一个随机变量。假定对每一瞬间它们是连续的随机变量，那么，就可以用概率密度函数来表示原始图像的灰度分布。r)(krrp为了有利于数字图像处理，必须引入离散形式。在离散形式下，用rk代表离散灰度级，用Pr(rk)代表pr(r)，并且有下式成立：121,010)(lkrnnrPkkkr,,,式中，nk为图像中出现rk这种灰度的像素数，n是图像中像素总数，而就是概率论中所说的频数。在直角坐标系中作出rk与Pr(rk)的关系图形，这个图形称为直方图。nnk灰度级的直方图我们注意到在暗色的图像中，直方图的组成成分集中在灰度级低（暗）的一侧；反之，明亮的图像的直方图的组成成分则集中在灰度级高（亮）的一侧；动态范围小，也就是对比度小，这种图像直方图集中于灰度级的中部；动态范围正常的图像直方图的成分覆盖了灰度级很宽的范围。直观上，若一图像像素占有全部可能的灰度级并且分布均匀，则图像有高的对比度和多变的灰度色调，即，可通过改变直方图的形状来达到增强图像对比度。7直方图修正直方图均衡化直方图规定化常用的方法：直方图变换后可使图像的灰度间距拉开或使灰度分布均匀，从而增大对比度，使图像细节清晰，达到增强的目的。对于离散的图像，用频率来代替概率。直方图均衡化()0,1,,1fhfnfL0()0,1,,1fiicfnfL直方图均衡化是一种典型的通过对图像的直方图进行修正来获得图像增强效果的自动方法。图像的灰度直方图是一个1-D的离散函数灰度累积直方图也是一个1-D的离散函数()0,1,,1fhfnfL直方图均衡化直方图均衡化主要用于增强动态范围偏小的图像的反差。基本思想是把原始图的直方图变换为在整个灰度范围内均匀分布的形式，增加了像素灰度值的动态范围，从而达到增强图像整体对比度的效果。更一般的（归一化的）概率表达形式：（图像灰度统计直方图）nnspkk/)(1,1,0Lk11直方图均衡化把原始图的直方图变换为均匀分布的形式需要一个变换函数即增强函数T。该变换函数T满足2个条件：（1）T单值单增函数。（2）对应，有则有：10Lr1)(0LrT10)(1LssTr直方图均衡化上面的2个条件保证了：第1个条件保证逆变换存在，且原图像各灰度级在变换后仍保持从黑到白的排列次序，防止变换后的图像出现一些反转的灰度级。第2个条件保证变换前后灰度值动态范围的一致性，也可以说原图像和变换后图像有着同样的灰度级范围。一幅图像的灰度级可视为区间[0,L-1]上的随机变量，可以证明累积分布函数（CDF）满足上述2个条件并能将r中的原始分布转换为s中的均匀分布。事实上r的CDF就是原始图像的累计直方图。直方图均衡化中T：kjkjjjrkknnrprTs00)()(10)(1LksTrkk直方图均衡-流程1.统计原始图像的直方图：其中，是归一化的输入图像灰度级。2.计算直方图累积分布曲线3.用累积分布函数作变换函数进行图像灰度变换：根据计算得到的累积分布函数，建立输入图像与输出图像灰度级之间的对应关系，即重新定位累计分布函数（与归一化灰度等级比较，寻找最接近的一个作为原灰度级k变换后的新灰度级）。nnrpkkrkrkjkjjjrkknnrprTs00)()(kskr的pk例如：假定有一幅像素数为64×64，灰度级为8级的图像，其灰度级分布、其灰度级直方图如下表、下图所示。对其进行均衡化处理，画出均衡化处理之后的直方图。直方图均衡化例题rknknnrPkkr)(r0=07900.19r1=1/710230.25r2=2/78500.21r3=3/76560.16r4=4/73290.08r5=5/72450.06r6=6/71220.03r7=1810.0264×64的图像各灰度级对应的概率分布表18直方图均衡化原始图像各灰度级对应的概率分布灰度级01234567像素790102385065632924512281概率0.190.250.210.160.080.060.030.02例20直方图均衡化图像直方图均衡化过程如下：（1）得到变换后的值：19.0)()(0000iisspsTt44.025.019.0)()(1011iisspsTt65.021.025.019.0)()(2022iisspsTt81.03t89.04t95.05t98.06t17t依此类推，即可得到例解：21直方图均衡化（2）用式将扩展到范围内并取整，得：(3)将相同值的归并起来,得:1'0t3'1t5'2t6'3t7'4t]5.0)1int[(kktLtkt]1,0[L10t31t52t63t64t75t76t77t例22直方图均衡化（4）变换后5个灰度级的像素数(5)新灰度级分布448,985,850,1023,790'4'3'2'1'0nnnnn25.04096/1023)(,19.04096/790)(10tptptt24.04096/985)(,21.04096/850)(32tptptt11.04096/448)(4tpt例直方图均衡-示例1Slide24图像的灰度级分布k01234567rk01/72/73/74/75/76/71nk790102385065632924512281pr(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02Sk’0.190.440.650.810.890.950.981Sk’’1/73/75/76/76/7111Sk1/73/75/76/71nsk7901023850985448pr(sk)0.190.250.210.240.1125直方图均衡化结果原始直方图变换函数直方图均衡化结果26直方图均衡化效果原图均衡化后效果图因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象。由于简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少的。这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡只是近似的。产生简并现象的根源是利用变换公式求新灰度时，所得到的往往不是允许的灰度值，这时就要采用舍入的方法求近似值，以便用与它最接近的允许灰度来代替它。在舍入的过程中，一些相邻的值变成了相同的值，这就发生了简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。那么简并现象如何产生？如何减少呢？)(0jrkjkrPssksksk'减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数。比如，通常用8bit来代表一个像素，而现在用12bit来表示一个像素，这样就可减少简并现象发生的机会，从而减少灰度层次的损失。另外，采用灰度间隔放大理论的直方图修正法也可以减少简并现象。这种灰度间隔放大可以按照眼睛的对比度灵敏度特性和成像系统的动态范围进行放大。减少简并现象的方法直方图均衡化处理方法是行之有效的增强方法之一，但是由于它的变换函数采用的是累积分布函数，因此正如前面所证明的那样，它只能产生近似均匀的直方图这样一种结果。这样就必须会限制它的效能。4.1.4直方图规定化处理有时需要具有特定的直方图的图像，以便能够对图像中的某些灰度级加以增强。直方图规定化方法就是针对上述思想提出来的一种直方图修正增强方法。直方图规定化假设pr(r)是原始图像灰度分布的概率密度函数，pz(z)是希望得到的图像的概率密度函数。如何建立pr(r)和pz(z)之间的联系是直方图规定化处理的关键。pzz()prr()所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找一个pr(r)和pz(z)间的中介，在pr(r)，pz(z)间搭建一座桥梁，建立r与z的关系。首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即：kiirrrrpdprTs00)()()((4—16)假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率密度函数是。对这幅图像也作均衡化处理，即：pzz()kjjzzzzpdpzGu00)()()(式4-2式4-1因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以和具有同样的均匀密度。其中上式的逆过程为：psS()puu())(1uGz(4—18)这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰度级来代替逆过程中的，其结果灰度级将是所要求的概率密度函数的灰度级。su)(zpz)()(11sGuGz根据以上思路，可以总结出直接直方图规定化增强处理的步骤如下：(1)、用直方图均衡化方法将原始图像作均衡化处理(2)、规定希望的灰度概率密度函数，并用式求得变换函数；)(zpz)(uG(3)、将逆变换函数用到步骤(1)中所得到的灰度级。（4）、这样，就实现了r与z的映射关系。以上三步得到了原始图像的另一种处理方法。在这种处理方法中得到的新图像的灰度级具有事先规定的概率密度函数。)s(Gz1)]([1rTGz原始直方图数据规定的直方图数据均衡化处理后的直方图数据（1）对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数值列于表栏目内。（2）利用下式计算变换函数。计算步骤如下：uGzpzkkjkzj()()0uGzpzpzjzjz00000000()()().uGzpzpzpzjzjzz110101000()()()().直方图规定化例uGzpzpzpzpzjzjzzz2202012000()()()()().uGzpzpzpzpzpzjzjzzzz33030123015()()()()()().以此类推求得：uGzuGzuGzuGz445566770350650851().().().()（3）用直方图均衡化中的sk进行G的反变换求z。zGskk1()这一步实际上是近似过程。也就是找出与的最接近的值。例如：与它最接近的是所以可写成用这样方法可得到下列变换值skGzk()s017014.Gz().3015Gz13015(.)，（4）用找出r与z的映射关系zGTr1[()]rz03037rz141747rz252757rz363767rz464767rz57571rz67671rz7711790737130zs1023747341zs850757552zs985767663zs4481174zs结果直方图数据（5）根据这样的映射重新分配像素，并用n=4096去除，可得到最后的直方图。图4—7直方图规定化处理方法47直方图规定化结果原始直方图规定直方图结果直方图直方图规定化-示例列表49直方图规定化效果原始图像规定直方图规定化后直方图规定化后的图像由图可见，结果直方图并不很接近希望的形状，与直方图均衡化的情况一样，这种误差是多次近似造成的。只有在连续的情况下，求得准确的反变换函数才能得到准确的结果。在灰度级减少时，规定的和最后得到的直方图之间的误差趋向于增加。但是实际处理效果表明，尽管是一种近似的直方图也可以得到较明显的增强效果。利用直方图规定化方法进行图像增强的主要困难在于如何构成有意义的直方图。一般有两种方法，一种是给定一个规定的概率密度函数，如高斯，瑞利等函数。另一种方法是规定一个任意可控制的直方图，其形状可由一些直线所组成，得到希望的形状后，将这个函数数字化。52直方图规定化灰度级01