根的判别式与根与系数的关系专题

1第4周根的判别式与韦达定理典型例题：例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是()A.10且mmB.0mC.1mD.1m例3、已知关于x的方程0222kxkx(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0即：若042acb，则二次三项式cbxax2)0(a为完全平方式；反之，若cbxax2)0(a为完全平方式，则042acb.例5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：★1、当k时，关于x的二次三项式92kxx是完全平方式。★2、当k取何值时，多项式kxx2432是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程022mxmx有两个不相等的实数根，则m的值是.★★4、k为何值时，方程组.0124,22yxykxy★★★5、当k取何值时，方程（1）有两组相等的实数解，并求此解；04234422kmmxmxx（2）有两组不相等的实数解；的根与m均为有理数？（3）没有实数解.2跟踪训练：一、填空题：1、下列方程①012x；②02xx；③012xx；④02xx中，无实根的方程是。2、已知关于x的方程022mxx有两个相等的实数根，那么m的值是。3、如果二次三项式kxx2432在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值范围是。4、在一元二次方程02cbxx中)(cb，若系数b、c可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是。二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（）A、011xxB、762yy[来源:学科网]C、021xD、0232xx2、若关于x的一元二次方程01)12()2(22xmxm有两个不相等的实根，则m的取值范围是（）A、43mB、m≤43C、43m且m≠2D、m≥43且m≠23、在方程02cbxax（a≠0）中，若a与c异号，则方程（）A、有两个不等实根B、有两个相等实根C、没有实根D、无法确定三、试证：关于x的方程1)2(2xmmx必有实根。四、已知关于x的方程022nmmxx的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m、n的值。五、已知关于x的方程02)12(22mxmx有两个不等实根，试判断直线xmy)32(74m能否通过A（－2，4），并说明理由。六、已知关于x的方程0)2(222mxmx，问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。七、已知n＞0，关于x的方程041)2(2mnxnmx有两个相等的正实根，求nm的值。3一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）专题计算对称式的值例若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为212，则k=;4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;6．设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，求下列各式的值：利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22(2)1x1－1x22221x1x1例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握ba、ba、ab、22ba之间的运算关系.例2、解方程组：;24,10)1(xyyx.2,10)2(22yxyx4例3、已知关于x的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例5、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式：若0122aa，0122bb，则abba的值为。例6、已知,是方程012xx的两个根，那么34.针对练习：1、解方程组)2(5)1(,322yxyx2．已知472aa，472bb)(ba，求baab的值。3、已知21,xx是方程092xx的两实数根，求663722231xxx的值。5根与系数关系的三大用处（1）计算对称式的值（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组65xyyx解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的两根由方程①解得z1=2,z2=3∴原方程组的解为x1=2,y1=3或x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。一元二次方程根与系数的关系练习题A组1．一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．2kB．2,1kk且C．2kD．2,1kk且2．若12,xx是方程22630xx的两个根，则1211xx的值为()A．2B．2C．12D．923．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm的根，则m等于()A．3B．5C．53或D．53或4．若t是一元二次方程20(0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是()A．MB．MC．MD．大小关系不能确定5．若实数ab，且,ab满足22850,850aabb，则代数式1111baab的值为()A．20B．2C．220或D．220或6．如果方程2()()()0bcxcaxab的两根相等，则,,abc之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程22(1)30xkxk的两根之差为1，则k的值是_____．9．设12,xx是方程20xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方程20xqxp的两实根，则p=_____，q=_____．10．已知实数,,abc满足26,9abcab，则a=_____，b=_____，c=_____．11．对于二次三项式21036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n，关于x的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的的正实数根，求mn的值．13．已知关于x的一元二次方程2(41)210xmxm．6(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为12,xx，且满足121112xx，求m的值．14．已知关于x的方程221(1)104xkxk的两根是一个矩形两边的长．(1)k取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是5时，求k的值．B组1．已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,xx．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x的方程230xxm的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程22(3)640kxkmxmm有实数根．3．若12,xx是关于x的方程22(21)10xkxk的两个实数根，且12,xx都大于1．(1)求实数k的取值范围；(2)若1212xx，求k的值．