专题讲练：八年级上册等腰三角形专题讲解和练习

专题讲练：等腰三角形※知识梳理一、等腰三角形的性质与判定1．有关概念(1)的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫、另一边叫，相等的两个角叫、另一角叫；(2)的三角形叫做等边三角形，又叫；2．性质(1)等腰三角形的两个底角(简称为“”)；(2)等腰三角形的、、互相重合(简称为“”)；3．判定(1)定义法：有两个边的三角形是等腰三角形；(2)定理法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边(简称为“”)．二、等边三角形的性质与判定1．性质(1)等边三角形的内角，且都等于；(2)等边三角形的三条边都．注意：等边三角形等腰三角形的一切性质；2．判定(1)的三角形是等边三角形；(2)的三角形是等边三角形；(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形30°角定理：(1)定理：在直角三角形中，；(2)逆定理：在直角三角形中，；三、线段的垂直平分线1．概念：经过线段，并且于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称________．2．性质：．3．判定：.注意：垂直平分线可以看作是的点的集合．四、角的平分线1．性质：．2．判定：．注意：角平分线可以看作是点的集合．※题型讲练【例1】已知△ABC为等腰三角形，分别解决下列问题：(1)若△ABC有两边长分别是6和8，则△ABC周长是；(2)若△ABC周长为14，其中一边长为4，则它的底边为；(3)若等腰△ABC周长为10，求△ABC腰长的取值范围？变式训练1：1．已知△ABC为等腰三角形，分别解决下列问题：(1)若它有一个内角为40°，则其它两角分别是；(2)若它有一个内角为100°，则其它两角分别是；(3)若等腰△ABC有一个外角为100°，求其各内角度数；【例2】如图，在ABC△中，点D是BC上一点，80BAD°，ABADDC，求∠BAC的度数．变式训练2：1．已知如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.【例3】已知，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D.(1)若∠A=50°，求∠DBC的度数；(2)探究∠DBC与∠A之间的数量关系，并说明理由；变式训练3：1．已知，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)若∠A=50°，求∠DBC的度数；(2)探究∠DBC与∠A之间的数量关系，并说明理由；【例4】已知：如图，点D、E在△ABC的底边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.(要求至少用2种方法证明)【例5】如图，AC＝BC，∠C＝360，AD平分∠CAB.(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)求证：AB＝CD.变式训练5：1．如图，△ABC中，已知AP∥BC.(1)若AP平分∠DAC，求证：AB＝AC.(2)若AB＝AC，求证：AP平分∠DAC【例6】已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．变式训练6：1．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．(1)求证：AD=BE；(2)求∠BFD的度数．【例7】已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上高，∠A=30°，求证：BD=AB.变式训练7：1．填空：若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半,则该等腰三角形的顶角度数是.【例8】如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.变式训练8：1．\如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，求证：BM＋CN＝MN.2．已知：如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P，求证：AP平分∠BAC【例9】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,8)、B(6,8).(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,不必写出作法)：①点P到A、B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等.(2)在(1)作出点P后,写出点P的坐标.变式训练9：1．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．ABDC41