抛物线-(共43张PPT)

[小题热身]1．(2015·陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，由题设知－p2＝－1，即p2＝1，所以焦点坐标为(1,0)．答案：B2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0等于()A．1B．2C．4D．8解析：由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋14，∵|AF|＝54x0，∴x0＋14＝54x0，∴x0＝1.答案：A3．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±22xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±42x解析：因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.答案：D4．(2017·合肥二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A．±3B．±1C．±34D．±33解析：设M(x0，y0)，易知焦点为Fp2，0，由抛物线的定义得|MF|＝x0＋p2＝2p，所以x0＝32p，故y20＝2p×32p＝3p2，解得y0＝±3p，故直线MF的斜率k＝±3p32p－p2＝±3，选A.答案：A5．顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是__________．解析：设抛物线的方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my得m＝－8，所以抛物线方程是x2＝－8y.答案：x2＝－8y6．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是__________．解析：由抛物线的方程得p2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.答案：6[知识重温]一、必记2●个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质定义(几何条件)平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离①______的点的轨迹叫做抛物线标准方程y2＝2px(p＞0)②______③______④______图形对称轴x轴⑤______y轴⑥______顶点坐标O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)相等y2＝－2px(p＞0)x2＝－2py(p＞0)x2＝2py(p＞0)x轴y轴焦点坐标F(p2，0)⑦______⑧______⑨______离心率ee＝1e＝1⑩______e＝1准线方程⑪______x＝p2y＝p2⑫______焦半径公式|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2⑬______⑭______范围x≥0x≤0⑮______⑯______F(－p2，0)F(0，－p2)F(0，p2)e＝1x＝－p2y＝－p2|PF|＝－y0＋p2|PF|＝y0＋p2y≤0y≥02.抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2●个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视只有p0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．考向一抛物线的定义及标准方程[例1](2017·广州一模)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝()A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20[解析]由题意得，抛物线C：y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义，可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，……，|PnF|＝xn＋1，故|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋x2＋…＋xn＋n＝n＋10，选A.[答案]A(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A72，4，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.72B．4C.92D．5[解析]抛物线焦点F12，0，准线x＝－12，如右图，延长PM交准线于N，由抛物线定义得|PF|＝|PN|，∵|PA|＋|PM|＋|MN|＝|PA|＋|PN|＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，而|MN|＝12，∴|PA|＋|PM|≥5－12＝92，当且仅当A，P，F三点共线时，取“＝”号，此时，P位于抛物线上，∴|PA|＋|PM|的最小值为92.[答案]C——[悟·技法]——与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解．——[通·一类]——1．(2017·云南昆明一中模拟，7)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A．4B．3C．2D．1解析：由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为2＋42＝3，故选B.答案：B2．(2017·宁波一模)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.12B．1C.32D．2解析：设P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y20＝4×1，解得y0＝±2，不妨取P(1,2)，则△OFP的面积为12×1×2＝1，选B.答案：B考向二抛物线的几何性质[互动讲练型][例2](1)(2016·四川，3,5分)抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0)D．(1,0)[解析]∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故选D.[答案]D(2)(2016·全国乙，理10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8[解析]不妨设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝R2.因为|AB|＝42，所以可设A(m,22)．又因为|DE|＝25，所以R2＝5＋p24，m2＋8＝R2，8＝2pm，解得p2＝16.故p＝4，即C的焦点到准线的距离是4.[答案]B——[悟·技法]——1.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．——[通·一类]——3．(2014·安徽卷)抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2解析：抛物线y＝14x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.答案：A4．(2017·徐州调研)若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x解析：∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－p2.∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴－p2＋2＝4，∴p＝4.∴抛物线的标准方程为y2＝8x.答案：C考向三直线与抛物线的位置关系[互动讲练型][例3](1)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，则弦长|AB|为__________．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立y2＝4x，y＝x－1，消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.[答案]8(2)(2017·南昌二模)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F(1,0)，其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，且FA→·FB→＝89，则直线l的方程为____________________．[解析]由题可知K(－1,0)，抛物线的方程为y2＝4x.设直线l的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my－1y2＝4x得y2－4my＋4＝0，故y1＋y2＝4my1y2＝4，所以x1＋x2＝my1－1＋my2－1＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1.又FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)，故FA→·FB→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋5＝8－4m2，则8－4m2＝89，所以m＝±43，故直线l的方程为3x＋4y＋3＝0或3x－4y＋3＝0.[答案]3x＋4y＋3＝0或3x－4y＋3＝0——[悟·技法]——解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．——[通·一类]——5．(2016·衡水一调)设抛物线C：y2＝4x的焦点F，直线l过点M(2,0)且与C交于A，B两点，|BF|＝32，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝()A.32B．2C．4D．6解析：由题意得抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，由|BF|＝32及抛物线的定义知点B的横坐标为12，代入抛物线方程得B12，±2，根据抛物线的对称性，不妨取B12，－2，则l的方程为y＝223(x－2)，联立y＝223x－2y2＝4x，得A(8,42)，于是λ＝|AM||BM|＝4，故选C.答案：C6．(2017·厦门一模)已知焦点为F的抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(m,22)，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为25，则m＝__________.解析：因为圆A被y轴截得的弦长为25，所以m2＋5＝|AF|＝m＋p2①，又A(m,22)在抛物线上，故8＝2pm②，由①与②可得p＝2，m＝2.答案：2微专题(二十一)——抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法例1已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，B(－1,1)，点P到直线l：x＝－12的距离为d，求d＋|PB|的最小值．[解析]由题意得抛物线y2＝2x的焦点F12，0，直线l是抛物线的准线，如图，连接BF，PF，所以d＝|PF|，则d＋|PB|＝|PF|＋|PB|≥|BF|＝－1－122＋1－02＝1