高中数学解析几何压轴题专项拔高训练-(一)

高中数学解析几何压轴题专项拔高训练一．选择题（共15小题）1．已知双曲线的右焦点为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则θ的值为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：由a2=cos2θ，b2=sin2θ，，知a=﹣cosθ，b=sinθ，c=1，e=﹣，再由双曲线第二定义，知，d=，故e=﹣=，由此能够导出θ的值．解答：解：∵a2=cos2θ，b2=sin2θ，，∴a=﹣cosθ，b=sinθ，c=1，e=﹣，由双曲线第二定义，知，d=，∴e=﹣=，∴cosθ=，∵，∴．故选C．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．2．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：假设|F1P|=x，分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a2﹣2c2，可得a和c的关系，即可求双曲线的离心率．解答：解：不妨设P在左支上，|F1P|=x，则|F2P|=2a+x∵OP为三角形F1F2P的中线，∴根据三角形中线定理可知x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）整理得x（x+2a）=c2+5a2由余弦定理可知x2+（2a+x）2﹣x（2a+x）=4c2整理得x（x+2a）=14a2﹣2c2进而可知c2+5a2=14a2﹣2c2∴3a2=c2∴故选C．点评：本题考查了双曲线的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．3．如果双曲线x2﹣my2=1（m＜1）上一点P与两焦点F1，F2构成的三角形面积为1，则此三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形考点：双曲线的简单性质；三角形的形状判断．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：先根据双曲线方程确定几何量，再利用三角形的面积公式及余弦定理，可建立方程，利用同角三角函数的平方关系，可用m表示cosα，利用m＜1，即可求解．解答：解：双曲线x2﹣my2=1（m＜1）中，不妨设|PF2|=x，|PF1|=x+2，∠F1PF2=α则=2x（x+2）﹣∵三角形的面积为1，∴∴∵∴∵cos2α+sin2α=1∴∴∵m＜1∴cosα＜0∴α为钝角故三角形为钝角三角形故选C．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的焦点三角形，合理运用双曲线的定义，正确运用余弦定理是解题的关键．4．双曲线x2﹣y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，点Pn（xn，yn）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，则x2008的值是（）A．B．C．4016D．4015考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值等于2a，可得到Pn+1F1|﹣|Pn+1F2|=2，在根据|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，判断出数列{PnF1|}为等差数列，公差为2，首项为3，求出|P2008F1|，在根据双曲线的第二定义，双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离比等于离心率，求出x2008的值．解答：解：∵Pn+1点在双曲线x2﹣y2=2右支上，∴|Pn+1F1|﹣|Pn+1F2|=2又∵|Pn+1F2|=|PnF1|，∴|Pn+1F1|﹣|PnF1|=2∴数列{PnF1|}为等差数列，公差为2∵P1F2⊥F1F2，∴|P1F2|=，则|P1F1|=3∴|P2008F1|=|P1F1|+2007×2=3+2007×2=4017∵双曲线x2﹣y2=2的左准线方程为x=﹣1，离心率为，设P2008到左准线距离为d，则=，∴d=4017又∵d=x2008+1，∴x2008=4016故选C点评：本题主要考查了双曲线第一第二定义的应用，以及等差数列的判断，属于圆锥曲线与数列的综合题．5．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．（2﹣2）a万元B．5a万元C．（2+1）a万元D．（2+3）a万元考点：双曲线的应用．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点C的坐标为（3，）．求出修建这条公路的总费用W，根据双曲线的定义有，根据a+b当且仅当a=b时取等号的方法求出W的最小值即可．解答：解：依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为x2﹣=1，点C的坐标为（3，）．则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|]，设点M、C在右准线上射影分别为点M1、C1，根据双曲线的定义有|MM1|=|MB|，所以=2a[|MM1|+|MC|]≥2a|CC1|=2a×（3﹣）=5a．当且仅当点M在线段CC1上时取等号，故ω的最小值是5a．故选B．点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用a+b当且仅当a=b时取等号的方法来求函数的最小值的能力．6．如图，I表示南北方向的公路，A地在公路的正东2km处，B地在A地北偏东60°方向处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在河岸PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（单位万元）（）A．B．5aC．D．6a考点：双曲线的应用．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线的一支，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．解答：解：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线的一支，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．因B地在A地北偏东60°方向处，∴B到点A的水平距离为：3，∴B到直线l距离为：3+2=5，那么修建这两条公路的总费用最低为：5a．故选B．点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用抛物线的定义的方法来求函数的最小值的能力．7．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．x±2y=0D．2x±y=0考点：圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：由抛物线y2=8x得出其焦点坐标，由|PF|=5结合抛物线的定义得出点P的坐标，从而得到双曲线的关于a，b的方程，求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程．解答：解：抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2，0）故双曲线的c=2，又|PF|=5，设P（m，n），则|PF|=m+2∴m+2=5，m=3，∴点P的坐标（3，）∴解得：则双曲线的渐近线方程为故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，抛物线的定义等．解答的关键是学生对圆锥曲线基础知识掌握的熟练程度．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：设点A坐标为（x0，y0）依题意可知=，把x0=代入椭圆方程求得关于y0的等式，根据抛物线定义可知y0=2c代入等式整理可得关于离心率e的一元二次方程求得e．解答：解：设点A坐标为（x0，y0）依题意可知=，x0=代入椭圆方程得（*）根据抛物线定义可知y0=p=2=2c∴y20=4c2，代入（*）式整理得a2﹣c2﹣2ac=0两边除以a2得e2+2e﹣1=0，解得e=或﹣﹣1（排除）故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线知识的综合把握．9．椭圆C1：的左准线为l，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，线段PF2的中点为G，O是坐标原点，则的值为（）A．﹣1B．1C．﹣D．考点：圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：P到椭圆的左准线的距离设为d，先利用椭圆的第二定义求得PF1|=ed，利用抛物线的定义可知|PF2|=d，最后根据椭圆的定义可知|PF2|+|PF1|=2a求得d，则|PF2|可得，最后化简即得．解答：解：设椭圆的离心率为e，P到椭圆的左准线的距离设为d，则|PF1|=ed，|PF2|+|PF1|=2a，又|PF2|=d，∴d+ed=2a，∴d=|PF2|=，|PF1|=．又线段PF2的中点为G，O是坐标原点，∴|OG|=|PF1|=，则===．故选D．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是灵活利用椭圆和抛物线的定义．10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为左支一点，P到左准线的距离为d，若d，|PF1|，|PF2|成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将等比数列的概念与双曲线的第二定义结合，再利用双曲线的简单性质得到|PF1|与其离心率e的关系，通过不等式|PF1|≥c﹣a即可求得该双曲线的离心率的取值范围．解答：解：∵该双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，又P为左支一点，则|PF2|﹣|PF1|=2a，设双曲线的离心率为e，依题意，==e，∵=e，∴=e﹣1，即=e﹣1，∴|PF1|=，又|PF1|≥c﹣a，∴≥c﹣a，又c＞a，∴0＜≤，即（e﹣1）≤，∴e﹣1≤，又e=＞1∴1＜e≤1+．故选D．点评：本题考查等比数列的性质，考查双曲线的第二定义及双曲线的简单性质，突出转化思想与不等式的应用，属于中档题．11．已知点P是双曲线C：﹣=1上的动点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点O为坐标原点，则的取值范围是（）A．[0，6]B．（2，]C．（，]D．[0，]考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：设P（x，y）则y2=﹣4，e=，由焦半径公式能够得出|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，代入所求的式子并化简得到，再由双曲线中x2≥8，求出范围即可．解答：解：设P（x，y）x＞0，由焦半径公式|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，则=（y2=﹣4，e=），则原式==，又因为双曲线中x2≥8．所以∈（2，]．同理当x＜0时，|PF1|=a﹣ex，|PF2|=﹣ex﹣a，仍可推出=∈（2，]．即推出的取值范围为（2，]．点评：本题考查了双曲线的性质，由焦半径公式得到|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a是解题的关键，要注意分x＞0和x＜0两种情况作答，属于中档题．12．已知点P是双曲线左支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，双曲线离心率为e，则=（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用正弦定理与双曲线的定义及和差化积公式的综合应用即可求得答案．解答：解：依题意，在△PF1F2中，由正弦定理得：==与合比定理得：=，即=，∴e======，∴tan=•tan，∴=．故选A．点评：本题考查正弦定