精选-鲁教版数学七年级上第三章《勾股定理》(含答案及解析)-文档资料

第1页勾股定理时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.直角三角形的斜边为20cm，两直角边比为3：4，那这个直角三角形的周长为()A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm2.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为()A.8B.9C.10D.113.适合下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，直角三角形的个数为()①𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5；②𝑎=6，∠𝐴=45∘；③𝑎=2，𝑏=2，𝑐=2√2；④∠𝐴=38∘，∠𝐵=52∘．A.1个B.2个C.3个D.4个4.以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是()A.2，3，4B.4，6，5C.14，13，12D.7，25，245.在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是𝑆1、𝑆2、𝑆3、𝑆4，则𝑆1+2𝑆2+2𝑆3+𝑆4=()A.5B.4C.6D.、106.在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵=15，𝐴𝐶=13，BC边上的高𝐴𝐷=12，则△𝐴𝐵𝐶的周长为()A.14B.42C.32D.42或327.△𝐴𝐵𝐶的三边为a、b、c且满足𝑎2(𝑎−𝑏)+𝑏2(𝑎−𝑏)=𝑐2(𝑎−𝑏)，则△𝐴𝐵𝐶是()A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形8.如图，在四边形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，E是AB上一点，且𝐷𝐸⊥𝐶𝐸.若𝐴𝐷=1，𝐵𝐶=2，𝐶𝐷=3，则CE与DE的数量关系正确的是()A.𝐶𝐸=√3𝐷𝐸B.𝐶𝐸=√2𝐷𝐸C.𝐶𝐸=3𝐷𝐸D.𝐶𝐸=2𝐷𝐸二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）9.如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______．10.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱．11.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______．12.如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入(填“能”或“不能”)．13.如图，等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，AD是底边上的高，若𝐴𝐵=5𝑐𝑚，𝐵𝐶=6𝑐𝑚，则𝐴𝐷=______cm．14.如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，若𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=3，则𝐴𝐷=______．15.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30∘，∠𝐵=45∘，𝐴𝐶=2，则𝐵𝐶=______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）16.已知如图，四边形ABCD中，∠𝐵=90∘，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，𝐶𝐷=12，𝐴𝐷=13，求这个四边形的面积．17.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=13，BC边上的中线𝐴𝐷=6，求BC的长．18.公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得𝐵𝐶=𝐶𝐷=20米，∠𝐴=45∘，∠𝐵=∠𝐶=120∘，请求出这块草地面积．第3页19.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，∠𝐵=60∘，∠𝐶=45∘．(1)求∠𝐵𝐴𝐶的度数．(2)若𝐴𝐶=2，求AB的长．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）20.如图，等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，点P在AC上，将△𝐴𝐵𝑃绕顶点B沿顺时针方向旋转90∘后得到△𝐶𝐵𝑄．(1)求∠𝑃𝐶𝑄的度数；(2)当𝐴𝐵=4，AP：𝑃𝐶=1：3时，求PQ的大小；(3)当点P在线段AC上运动时(𝑃不与A重合)，请写出一个反映𝑃𝐴2，𝑃𝐶2，𝑃𝐵2之间关系的等式，并加以证明．21.如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90∘，𝐴𝐵=3𝑐𝑚，𝐵𝐶=4𝑐𝑚.点D在AC上，𝐴𝐷=1𝑐𝑚，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿𝐶→𝐵→𝐴→𝐶的路径匀速运动.两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿𝐵→𝐶→𝐴的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为𝑥𝑐𝑚/𝑠．(1)点Q的速度为______𝑐𝑚/𝑠(用含x的代数式表示)．(2)求点P原来的速度．答案和解析【答案】1.D2.C3.C4.D5.C6.D7.A8.B9.2410.61211.13或√11912.能13.414.16515.√216.解：连接AC，如图所示：∵∠𝐵=90∘，∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，又𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，∴根据勾股定理得：𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=5，又𝐴𝐷=13，𝐶𝐷=12，∴𝐴𝐷2=132=169，𝐶𝐷2+𝐴𝐶2=122+52=144+25=169，∴𝐶𝐷2+𝐴𝐶2=𝐴𝐷2，∴△𝐴𝐶𝐷为直角三角形，∠𝐴𝐶𝐷=90∘，则𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝐶𝐷=12𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+12𝐴𝐶⋅𝐶𝐷=12×3×4+12×12×5=36．17.解：延长AD到E使𝐴𝐷=𝐷𝐸，连接CE，在△𝐴𝐵𝐷和△𝐸𝐶𝐷中{𝐴𝐷=𝐷𝐸∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐷𝐶𝐵𝐷=𝐷𝐶，∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐷，∴𝐴𝐵=𝐶𝐸=5，𝐴𝐷=𝐷𝐸=6，𝐴𝐸=12，在△𝐴𝐸𝐶中，𝐴𝐶=13，𝐴𝐸=12，𝐶𝐸=5，∴𝐴𝐶2=𝐴𝐸2+𝐶𝐸2，∴∠𝐸=90∘，由勾股定理得：𝐶𝐷=√𝐷𝐸2+𝐶𝐸2=√61，∴𝐵𝐶=2𝐶𝐷=2√61，答：BC的长是2√61．18.解：连接BD，过C作𝐶𝐸⊥𝐵𝐷于E，如图所示：∵𝐵𝐶=𝐷𝐶=20，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=120∘，∴∠1=∠2=30∘，∴∠𝐴𝐵𝐷=90∘．∴𝐶𝐸=12𝐶𝐷=10，∴𝐵𝐸=10√3，∵∠𝐴=45∘，∴𝐴𝐵=𝐵𝐷=2𝐵𝐸=20√3，∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐷+𝑆△𝐵𝐶𝐷=12𝐴𝐵⋅𝐵𝐷+12𝐵𝐷⋅𝐶𝐸=12×20√3×20√3+12×20√3×10=(600+100√3)𝑚2．19.解：(1)∠𝐵𝐴𝐶=180∘−60∘−45∘=75∘．(2)∵𝐴𝐶=2，∴𝐴𝐷=𝐴𝐶⋅sin∠𝐶=2×sin45∘=√2；∴𝐴𝐵=𝐴𝐷sin∠𝐵=√2sin60∘=2√63．20.解：(1)由题意知，△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝑄𝐵，∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐶𝑄=45∘，∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝑃𝑄，𝐴𝑃=𝐶𝑄，𝑃𝐵=𝐵𝑄，第5页∴∠𝑃𝐶𝑄=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐵𝐶𝑄=90∘，∠𝐴𝐵𝑃+∠𝑃𝐵𝐶=∠𝐶𝑃𝑄+∠𝑃𝐵𝐶=90∘，∴△𝐵𝑃𝑄是等腰直角三角形，△𝑃𝐶𝑄是直角三角形．(2)当𝐴𝐵=4，AP：𝑃𝐶=1：3时，有𝐴𝐶=4√2，𝐴𝑃=√2，𝑃𝐶=3√2，∴𝑃𝑄=√𝑃𝐶2+𝐶𝑄2=2√5．(3)存在2𝑃𝐵2=𝑃𝐴2+𝑃𝐶2，由于△𝐵𝑃𝑄是等腰直角三角形，∴𝑃𝑄=√2𝑃𝐵，∵𝐴𝑃=𝐶𝑄，∴𝑃𝑄2=𝑃𝐶2+𝐶𝑄2=𝑃𝐴2+𝑃𝐶2，故有2𝑃𝐵2=𝑃𝐴2+𝑃𝐶2．21.43𝑥【解析】1.解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，根据勾股定理得：(3𝑥)2+(4𝑥)2=202，整理得：𝑥2=16，解得：𝑥=4，∴两直角边分别为12cm，16cm，则这个直角三角形的周长为12+16+20=48𝑐𝑚．故选D根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2.解：由于a、b、c都是正方形，所以𝐴𝐶=𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷=90∘；∵∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=90∘，即∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐸，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐸𝐷中，{∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐸𝐶=90∘∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐷𝐸𝐴𝐶=𝐷𝐶，∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐴𝐵=𝐶𝐸，𝐵𝐶=𝐷𝐸；在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2+𝐷𝐸2，即𝑆𝑏=𝑆𝑎+𝑆𝑐=1+9=10，∴𝑏的面积为10，故选C．运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐸，然后证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐸，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐸．3.解：①𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5，∵32+42=25=52，∴满足①的三角形为直角三角形；②𝑎=6，∠𝐴=45∘，只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；③𝑎=2，𝑏=2，𝑐=2√2，∵22+22=8=(2√2)2，∴满足③的三角形为直角三角形；④∵∠𝐴=38∘，∠𝐵=52∘，∴∠𝐶=180∘−∠𝐴−∠𝐵=90∘，∴满足④的三角形为直角三角形．综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．故选C．根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方(或寻找三角形中是否有一个角为直角)”是关键．4.解：∵72+242=49+576=625=252．∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．故选：D．根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合𝑎2+𝑏2=𝑐2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握.此题难度不大，属于基础题．5.解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠𝐴𝐵𝐷=90∘，𝐴𝐵=𝐷𝐵，∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷𝐵𝐸=90∘，∵∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐶𝐴𝐵=90∘，∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐸，∵在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐷𝐸中，{∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐸𝐷∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐸𝐵𝐷𝐴𝐵=𝐵𝐷，∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐴𝐶=𝐵𝐸，∵𝐷𝐸2+𝐵𝐸2=𝐵𝐷2，∴𝐸𝐷2+𝐴𝐶2=𝐵𝐷2，∵𝑆1=𝐴𝐶2，𝑆2=𝐷𝐸2，𝐵𝐷2=1，∴𝑆1+𝑆2=1，同理可得𝑆2+𝑆3=2，𝑆3+𝑆4=3，∴𝑆1+2𝑆2+2𝑆3+𝑆4=1+2+3=6．故选C．先根据正方形的性质得到∠𝐴𝐵𝐷=90∘，𝐴𝐵=𝐷𝐵，再根据等角的余角相等得到∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐸，则可根据“AAS”判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸，于是有𝐴𝐶=𝐵𝐸，然后利用勾股定理得到𝐷𝐸2+𝐵𝐸2=𝐵𝐷2，代换后有𝐸𝐷2+𝐴𝐶2=𝐵𝐷2，根据正方形的面积公式