基本不等式求最值

基本不等式应用注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解：（1）y＝3x2＋12x2≥23x2·12x2＝6∴值域为[6，+∞）（2）当x＞0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2；当x＜0时，y＝x＋1x=－（－x－1x）≤－2x·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。技巧二：凑系数例1.当时，求(82)yxx的最大值。当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3．203x，求函数(23)yxx的最大值.条件求最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33和都是正数，ba33≥632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是6．变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。错解．．：0,0xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy故min12xy。正解：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤342技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34∵t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤18，∴y≥118变式：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xykxy191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky10312kk。16k，,16m应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,,的大小关系是.分析：∵1ba∴0lg,0lgba21Q（pbabalglg)lglgQababbaRlg21lg)2lg(∴RQP。