均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)

1利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形1.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx(当且仅当_____________时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当____________时取“=”）2.若0ab，则2abba(当且仅当____________时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当_________时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1已知,xyR，且满足134xy，则xy的最大值为________。解：因为x0，y0，所以234343xyxyxy(当且仅当34xy，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy，3.xy，故xy的最大值3.变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值解：∵44loglog2xy2log4xy即xy=1621211211xyyxyx当且仅当x=y时等号成立技巧二：配凑项求例2：已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。例3.当时，求(82)yxx的最大值。解：当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。2变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。例4.求2710(1)1xxyxx的值域。解：当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。练习：1、已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；2、203x，求函数(23)yxx技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换）错解．．：0,0xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy故min12xy。错因：解法中两次连用基本不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值32：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。(3)设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为（）．A．8B．4C．1D．14解析：因为333ba，所以1ba。又0,0,ab所以4222)11)((11baabbaabbababa，当且仅当baab即21ba时取“=”。故选（Ｂ）．技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx的最大值.技巧六、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a2＋b22。同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为12，x1＋y2＝x2·1＋y22＝2x·12＋y224下面将x，12＋y22分别看成两个因式：x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤342技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34∵t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧八、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b2≤a2＋b22，本题很简单3x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝255变式:求函数152152()22yxxx的最大值。解析：注意到21x与52x的和为定值。22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx又0y，所以022y当且仅当21x=52x，即32x时取等号。故max22y。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。技巧9：消元例1.设,,xyz为正实数，230xyz，则2yxz的最小值是_________.22223,0,,29666=3,443,,=33.xzxzyyxzxzxzxzxzxzxzyxzxyzyxz解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为技巧10.换元例1.求函数225xyx的最大值.222,0,2,(0)2100;1120141222122=.232,.24xttxttytttytytttttttx解：令则当时，当时，当且仅当，即时，取等号所以时取最大值为练习题：1.若a0，b0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a，β＝b＋1b，则α＋β的最小值为()A．2B．3C．4D．52.已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝8x的图象都过点A，且点A在直线xm＋y2n＝1(m0，n0)6上，则log2m＋log2n的最小值为________．3.已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1则1a＋1b＋1c的最小值为________．4.设M是△ABC内一点，且AB→·AC→＝23，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(M)＝12，x，y，则1x＋4y的最小值是________．5.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝3x＋1x＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？6.设正实数,,xyz满足22340xxyyz,则当xyz取得最大值时,212xyz的最大值为（）A．0B．1C．94D．37.已知222,,,236,49abcabcabc则的最小值为______.8.已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=14ab的最小值是A．72B．4C．92D．59.设,xy为实数，若2241,xyxy则2xy的最大值是．。10.已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是11.设0a＞b＞，则211aabaab的最小值是（A）1（B）2（C）3（D）4B.4C.D.11211.习题答案：1.∵12为a、b的等差中项，∴a＋b＝12×2＝1.a＋1a＋b＋1b⇒1＋1a＋1b＝1＋a＋bab＝1＋1ab，∵ab≤a＋b2，∴ab≤a＋b24＝14.∴原式≥1＋4.当且仅当a=b=1/2时，∴α＋β的7最小值为5.故选D.2.由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线xm＋y2n＝1(m0，n0)上，所以1＝2m＋42n≥22m·42n，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，当且仅当m=n=4时，故log2m＋log2n的最小值为4.3.[答案]6＋42[解析]1a＋1b＋1c＝a＋2b＋ca＋a＋2b＋cb＋a＋2b＋cc＝2ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋2bc＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc同时成立时成立．即a＝c＝2b＝1－22时等号成立．4.[答案]18[解析]∵AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos30°＝32|AB|·|AC|＝23，∴|AB|·|AC|＝4，由f(M)的定义知，S△ABC＝12＋x＋y，又S△ABC＝12|AB|·|AC|·sin30°＝1，∴x＋y＝12(x0，y0)∴1x＋4y＝2(x＋y)1x＋4y＝25＋yx＋4xy≥2(5＋24)＝18，等号在yx＝4xy，即y＝2x＝13时成立，∴1x＋4ymin＝18.5.[解析](1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为32Q＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q＋3Q×150%＋xQ×50%)·Q＝32(32Q＋3)＋12x，∴年利润W＝32(32Q＋3)＋12x－(32Q＋