1.3.2-奇偶性-第1课时--函数奇偶性的概念

11.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣,给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2),及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)²=4，f(2)=4f(0)=0,f(-1)=(-1)²=1,f(1)=1，f(-x)=(-x)²=x²f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)(-x,y)-xxf(-x)f(x)xyo(x,y)f(-x)=f(x)探究点1偶函数的定义思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？函数图象关于y轴对称；对定义域内任意的自变量x都有()()fxfx一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数.例如，下图：f(-x)=f(x)对定义域内任意的自变量x都有()()fxfx已知f(x)=x³,求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)³=-8，f(2)=8.f(0)=0,f(-1)=(-1)³=-1，f(1)=1，f(-x)=(-x)³=-x³f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)xxyof(-x)=-f(x)-xf(-x)f(x)探究点2奇函数的定义思考:奇函数中，函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？提示：如图，f(-x)=-x3=-f(x)，即横坐标互为相反数的点的纵坐标互为相反数.xxyo-xf(-x)f(x)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做奇函数.f(-x)=-f(x)根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？偶函数偶函数奇函数奇函数【提升总结】奇函数与偶函数定义中的三性(1)对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域内的每一个x都成立的；(3)可逆性：f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数，f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数.函数的奇偶性与单调性的区别(1)奇偶性是反映函数在定义域上的对称性,是相对于函数的整个定义域来说的,奇偶性是函数的“整体”性质.(2)单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势,此区间是定义域的子集,因此单调性是函数的“局部”性质.思考：对于定义在R上的函数f(x),若f(－3)=f(3),则函数f(x)一定是偶函数吗?提示：不一定,仅有f(－3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.()(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.()(3)如果一个函数的图象关于原点对称，则有f(x)-f(－x)=0.()提示：(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数，故图象关于y轴对称.(2)正确.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)=-f(x)，即f(－0)=f(0)=-f(0),所以f(0)=0.(3)错误.因为函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，故f(－x)=-f(x)，则有f(x)+f(－x)=0.答案：(1)√(2)√(3)×例.判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）4()fxx5()fxx1()fxxx分析：只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否符合即可.f(x)＝x3－x2x－1.解：（1）对于函数f(x)=x4，其定义域是.因为对定义域内的每一个x，都有所以，函数f(x)=x4为偶函数。(,)44()()(),fxxxfx(2)对于函数f(x)=x5，其定义域为.因为对定义域内的每一个x，都有所以，函数f(x)=x5为奇函数.(,)55()()(),fxxxfx(3)对于函数，其定义域是{x|x≠0}.因为对于定义域内的每一个x，都有所以，函数为奇函数.1()fxxx1()fxxx11()()(),fxxxfxxx(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性.（1）判断函数的奇偶性.（2）如图是函数图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？31()53fxxx31()53fxxx【练习】解：(1)对于函数，其定义域是.由于对定义域内的任意x，都有所以，函数f(x)是奇函数.3311()()5()5()33fxxxxxfx(,)31()53fxxx(2)由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整个定义域上的图象.如图用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：（1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性.（2）验证f(-x)=f(x)，或者f(-x)=-f(x).（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.【提升总结】1.函数不是奇函数就是偶函数吗？答：函数按奇偶性分类：①有的函数为偶函数；②有的函数为奇函数；③有的函数既是奇函数又是偶函数，如f(x)＝0；④有的函数既不是奇函数也不是偶函数，如y＝x(x≥0)．思考交流2.具备奇偶性的函数图象有什么特点？答：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．3.若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)的值能确定吗？答：由奇函数的定义知f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.总结：奇函数、偶函数在x=0处的定义若奇函数f(x)在原点处有意义，则由奇函数定义f(－0)=－f(0)，可得f(0)=0，偶函数则不一定.1.函数f(x)=x2，x∈［-1，2］是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【提示】∵x∈［-1,2］，不关于原点对称.C2.如果定义在区间［3-a，5］上的函数f(x)是偶函数，则a=_______.【解析】∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)的定义域关于原点对称，∴3-a+5=0，∴a=883.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。解：2214.1-11.xfxxffxx设函数求它的定义域；２判断它的奇偶性；３求的值22222221-2-1--;.1-11113-1-11-10.xfxxxfxfxxxxffxxxxffxx数义关点对称为数２由１得函的定域于原，而１＝偶函，奇偶性定义图象特点判断方法