中国振动工程学会模态分析高级研修班讲课资料(第六章)-

InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所1三、结构（物理）参数识别和有限元模型修正回答什么问题：认为有限元建模不准，如何用试验模态结果来识别和修正结构参数？使修正后的有限元模型可更好地用于响应等预计！1.有限元建模模型存在哪些误差：各种理论假设、边界条件的近似性，材料参数的不确定性，支撑刚度和连接刚度的不恰当模拟，阻尼特性或者是被忽略或者远远不够精确等2.试验模态结果虽然存在测试噪声，实际系统不完全是线性的，但仍然认为试验模态模型和有限元模型相比要可靠得多。3.试验模态模型可用于验证有限元模型的可靠性。因此提出模型修正的概念。4.所谓模型修正是：获得一个新的有限元模型能够重现所有模态参数的模型（N个固有频率，N个模态振型的幅值及相位），或者是获得一个能够重现所有测得的频率响应函数的有限元模型，或者是一个具有正确的质量，刚度，阻尼矩阵的有限元模型——前二者与第三者意义是不同的。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所2这一节要讲三个问题I.计算模型和试验模型间的相关准则II.模态缩减和扩展III.从模态试验获取和修正结构参数07.08.2019InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所3概述：模型参数修正的主要方法从被修正的参数来分大致有两类：1.直接修正矩阵法2.基于灵敏度分析的参数修改法。从有限元模型和试验模态模型之间的相关要求来分有三类：1.要求计算得到的模态频率和试验得到的模态频率相一致；2.要求计算模态频率、模态振型和试验得到的模态频率、模态振型相一致；3.要求计算得到的频率响应和试验得到的频率响应相一致。在基于灵敏度分析的参数修改法中的误差函数构造中，三者可以适当加权表达在同一个误差函数中，而且估计迭代方法同属于贝叶斯法。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所4数值模型和试验模态模型的相容性问题讨论模型修正之前，应该指出，数值模型和试验模态模型之间存在不相容性（不相容就是没法比较的意思）。这种不相容性主要由试验模态模型的不完整性产生。•试验模态模型的不完整性，1.是数值模型的自由度数远大于试验模态模型的自由度数，和数值模型相比，试验模态模型的自由度数不完整（也就没法相容）；2.是指试验模态数不完整，由于试验频率宽度有限，而且在高频段模态密度高，难以从中提出模态，因此试验模态数m更小于计算模态数。•第二种不完整性并不很重要，因为人们主要关心的是低阶模态。第一种不完整性对有限元模型和试验模态模型之间的相关分析，对模型修正造成了相当困难。因此，有限元模型的缩减，或试验模态模型的扩展也是本节讨论的间题之一。07.08.2019InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所5I.计算模型和试验模型间的相关准则有限元模型修正一般通过三种模型进行。1.是由质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵构成的空间状态模型（spacialmodel),利用摄动法或优化方法直接对质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵进行修正。2.是模态模型（Modalmodel)，由模态频率、模态向量等构成。3.模型是频率响应函数模型，由足够多的频率响应函数构成。在下面的公式中，下标e表示试验模型，下标a表示计算模型。@空间模型或时域模型由下列微分方程给出：如求得质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，则空间模型可以确定。@模态模型由模态频率，模态振型，模态阻尼，模态质量矩阵和模态刚度矩阵给出。一般而言，模态模型由试验确定，因为模态阻尼无法由计算得到。但是模态频率、模态振型可以由空间模型的特征方程解得。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所6@频率响应模型由频率响应函数矩阵给出。频率响应函数矩阵由下式给出：或其中Z(ω)是阻抗矩阵。为频率响应矩阵的逆矩阵。对无阻尼系统，三者关系为1）空间模型的相关准则由于阻尼难以确定，因此仅对质量矩阵和刚度矩阵讨论相关准则：质量矩阵正交性，刚度矩阵正交性，InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所707.08.2019当振型为刚体模态时，质量矩阵正交性检验退化为总质量检验，刚度矩阵正交性所对应的频率为零，质量矩阵和我刚度矩阵的对称性。2)模态振型的相关准则假定计算模型和试验模型的振型使用同一种正则化方法，则两者在一定频率范围内等价的条件是：两者的（有阻尼）固有频率相等。两者的（复）振型一致；两者的模态质量矩阵或模态刚度矩阵一致.检验有限元模型和模态模型两者之间的固有频率是否相等是容易的。而检验两者之间的振型是否一致并不是那么直观。主要有下面几种方法：模态标定因子MSF（Modalscalfactor），模态置信准则MAC（ModalAssuranceCriterion），坐标模态置信准则Comac（CoordinateModalAssurancecriterion），以及动态力平衡方法DFBM（DynamicForceBalanceMethod）。动态标定因子MSF定义为InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所8MSF表示两个振型间的比例因子。如果两个振型正交，则MSF为零。如果完全线性相关，则两个振型的各个分量成比例。如果介于两者之间，则误差可以用正则模态差NMD（NormalizedModalDifference）表示：最常用的模态置信准则是MACMAC大于等于零小于等于l。MAC等于1表示两者线性相关，等于零表示两者线性无关。NMD和MAC之间的关系为InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所93）频率响应模型的相关准则这里主要介绍频率响应模型的正交性和频率响应函数模式置信准则SAC。频率响应模型的正交性由下式给出：上式表示计算模型的动刚度矩阵和测得到的频率响应函数矩阵的乘积应该为单位矩阵。而频率响应函数模式置信准则SAC是对计算得到频率响应和测试得到频率响应进行相关分析。SAC可以表示为式中：其中Hcij（ωk）是j点激励，i点响应的频率响应函数在（ωk）处的值。显然，SAC等于1表示表示两者线性相关，等于零表示两者线性无关。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所10II.模态缩减和扩展在有限元模型修正中，我们介绍了MAC、COMAC、MSF等方法用于判别计算模型的振型和试验模型的振型相关的程度。实际上，计算模型的自由度总数，一般而言，远大于试验模型的自由度总数。这就是在本节一开始所讲到的第一种试验模态模型的不完整性。要解决这个问题，或者是将有限元模型缩聚到试验模型的自由度上，或者是将试验模型的振型扩展到有限元模型的自由度上。模型的缩聚和扩展看似问题的两个方面，但在求解过程中是统一的（双向转换）。1）GUYAN缩减法2）KIDD扩展法3）SEREP法4）IRS有限元计算模型自由度数：m+s试验模型自由度数：mInstituteofVibrationEngineering振动工程研究所1107.08.2019Guyan缩聚，主辅自由度转化方法Guyan提出：将全部结构自由度，依据它们对动态性能影响的大小，区分为主自由度(masters)与辅自由度(slavers)。通过矩阵分块技术，并假定辅自由度对结构没有“动”特性的影响（如忽略梁位移中转动自由度)。式中和分别为有限元模型和模态试验模型对应的模态，m+s为有限元模型的自由度数，s则是模态试验模型的自由度数。上式实现了计算模型与试验模型间的模态的转换。假定(等价于的第二式)，令InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所12III结构参数的识别与修正回答什么问题？如何从模态试验中获得正确的结构（物理）参数—质量阵、刚度阵？目前可供应用的结构参数识别与修正的方法有多种。陈介中摄动法该方法采用完整的模态集识别结构参数。Berman摄动法Berman提出的方法对质量矩阵与刚度矩阵进行修正后，得到的是满阵，这就失去了原来矩阵的带状稀疏性特点我国学者彭晓洪等于1984年提出了一种改进的模型修正方法，使修正后的计算模型能保持初始计算模型的带状性质。周欣等于1985年提出一种基于模态正交性原理的修改方法，使修改后的物理参数满足特征方程。该方法可利用不完备的模态集。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所13•1.J.C.Chen矩阵摄动法该方法由陈介中（J.C.Chen）于1983年提出，它直接利用实验模态分析所得获得的模态矩阵φ和特征值矩阵Λ＝[λr2]修改结构的物理参数。设某结构的自由度为N。用有限元法计算所得质量矩阵、刚度矩阵、特征值矩阵和模态矩阵分别为Mo、Ko、Λo、φo，它们均为NxN阶矩阵。由于用有限元计算时必须对实际结构进行离散化处理，并引进一系列人为的假设，因此，计算时所使用的物理模型往往与实际结构不同。更加上计算中不可避免的误差，使计算所得结构振动特性与试验所得结果不相符合。这就有必要对原结构系统的物理模型进行修改。设实际的，或由试验所得的质量矩阵、刚度矩阵、特征值矩阵及模态矩阵分别为M、K、A、φo。计算值与试验值之间的差别可认为是对原结构的一种摄动，则有下列关系：InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所14Chen假设式中A是系数矩阵。于是式可以写成由模态正交性条件可得将代入上两式并考虑ΔM﹑ΔK﹑ΔΦ﹑ΔΛ及A均为微小量，将二次微小量略去后可得对上两式前乘Φ0-T，后乘以Φ0-1，并考虑到InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所15可得--1由式可得将上两式代入1，并插入单位矩阵，经过推导可得到结构参数修改的计算公式在上面两式中Mo、Ko、Λo、Φo均为计算值（已知），Φ及Λ为实验所得，亦为已知，因此就可由上两式计一算出结构参数的修改值。在上述方法中Φ及Λ必须是完整的模态集即为NXN阶矩阵。但在实际测试时，对复杂结构，往往很难得到完整的模态集。这是此方法的一个严重不足之处。克服的办法就是就是前面所讲的自由度缩减与扩展（先将有限元自由度缩减为试验模型的自由度m，进行上述各步修正，然后用Guyan方法通过坐标变换矩阵T将m扩展为m+s,回到有限元模型自由度）。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所162Berman法该法的优点是不需要有计算的特征值和特征向量，它只用试验模态矩阵Φ及特征值Λ来修改M0和K0，从而求得修改后的结构参数M和K。此方法的理论基础亦是模态正交性条件，即考虑到则有式中E0称为正交检验性矩阵，它不一定是对角阵。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所17由于是以非完备的模态集作为修正基准，满足式的解不是唯一的，故以此式作为约束条件，寻找使下列范数极小化的解：Berman又定义了一个拉格朗日函数式中：矩阵E0为非对角阵，Lij为拉式乘子。将上式对ΔM的每个元素及Lij求导，并令其为零，便可得到满足正交性条件，又能使的ε最小解：InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所18将上式代入到得到再将上式代入到，便得：在求得ΔM后即可得修改后的质量矩阵。Wei用类似的方法（将以上过程的M改为K）找到了刚度矩阵的修改公式：式中InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所19BERMAN方法的不足之处这种直接修正矩阵的拉格朗日乘子法的不足之处主要有以下几点：①采用试验模态向量修正质量矩阵和刚度矩阵。由于试验模态向量是不完整的，仅仅是测试频率范围内的若干阶模态，而且试验模态的自由度数远小于计算模型的自由度数，因此必须进行振型扩展（在本章前面讨沱过）；②试验模态的误差一般较大，在15％左右；③原来质量矩阵和刚度矩阵的稀疏性可能不再存在；④原来质量矩