二期二批广西21世纪园丁工程

二期二批“广西21世纪园丁工程”小学数学骨干教师校本研修成果汇编：专题讲座河池市金城江区实验小学吕杰二00八年六月数学教学中的数学思想——河池市金城江区实验小学教师论谈专题讲座吕杰尊敬的各位领导、老师：大家上午好！非常感谢学校领导给我这次机会，让我能在这次教师论谈活动中和老师们就数学教学进行交流，在两个月前的自治区骨干教师的培训中，我有幸听了谢学宾老师关于“数学教学中的数学思想”的讲座，觉得受益非浅，今天我把学习的内容和大家进行分享，希望大家都能有所收获。我们知道，作为一个小学数学老师，光是教会学生解一道题是远远不够的，数学习题浩瀚无边，问题又可变式发散，这样习题就林林总总，题量就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是制胜的法宝，数学中渗透着基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到我们学习和应用数学的思维活动上，就能在发展我们的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，这对于学习数学、发展能力并开发智力都是至关重要的。一、数学思想的概念所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。“数学思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施有关的“数学思想”的技术与操作程式中。中学数学用到的各种数学方法，都体现着一定的数学思想。数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想。有的数学思想（例如“一分为二”的思想和“转化”思想）和逻辑思想（例如完全归纳的思想）由于其在数学中的运用而被“数学化”了，也可以称之为数学思想。基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合思想，化归思想，函数与方程的思想，整体思想，极限思想，抽样统计思想等。当我们按照空间形式和数量关系将研究对象进行分类时，把分类思想也看作基本数学思想。基本数学思想有两大基石——符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大支柱——对应思想和公理化结构思想。基本数学思想及其衍生的其他数学思想，形成了一个结构性很强的网络。数学中渗透着基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到我们学习和应用数学的思维活动上，就能在发展我们的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，这对于学习数学、发展能力并开发智力都是至关重要的。二、小学数学教学中的数学思想刚才我们知道培养学生数学思想的重要性，那下面我们就来认识小学数学教学中常用的数学思想：（一）集合思想集合思想创建者是德国数学家G．康托尔于1874年提出的，我国在1978年以后编的小学数学教材中也渗透了集合思想。什么叫做集合呢？一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。集合分为：并集、交集、差集、空集，它们在我们的数学教学中体现为：并集——加法，把两个或几个数并在一起。交集——公约数，如8的约数有1、2、4、8，6的约数有1、2、3、6，那它们的公有的约数是：1和2，我们通过画集合图，能够清楚地看出它们共有的部分，也就是相交的部分。差集——减法，空集——0的认识，大家还记得吗，在教学0的认识时，出示的是一个猴子吃桃图，它先吃了一个，剩下一个，又再吃了一个，此时盘子里一个也不剩了，就用0表示。（二）符号化思想符号化思想最早发明符号的数学家是韦达。英国著名哲学家，数学家罗素说过：什么是数学？数学就是符号加逻辑。符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。恰当的符号可以清晰、准确、简化地表达数学思想、概念、方法和逻辑关系,避免日常语言的繁复冗长或模糊不清。例如,算式“100-30×2+50”可用日常语言表述为“100减去30与2的积,再加上50”;算式“(100-30)×2+50”则应表述为“100减去30的差乘以2,再加上50”。不仅冗长,而且易于引起误解。符号化思想分为三个层次构成：1、基本符号的约定。如表示图形符号Δ，⊙，□等，表示已知量和未知量的符号a,x等。2、组合符合的约定。由若干基本符号的组合就构成组合符号。如“3×2”、“n！”，如果组合符号再与“”、“=”、“≠”表示关系的基本符号，按照一定规则相联接，就构成公式符号，如3×2=6；ab=ba等。3、公式符号的约定。数学语言所包含的信息量的大小，直接影响着数学思维的效率，符号化思想以浓缩的形式表达大量信息，大大简化了数学运算或推理的过程，加快的数学思维的速度。（三）对应思想对应思想是指人的思想对两个集合元素之间联系的把握。许多具体的数学思想来源于对应思想。对应思想主要体现在：数形结合思想、函数思想、变换的思想。1、数形结合的思想。在小学数学中的主要体现在：（1）利用图形的“一一配对”来理解数学概念。（2）利用“数”与“形”的对应，让学生理解数与式的概念。（3）用“数轴”渗透数集与直线上的点集对应的思想。(如:自然数集N与数轴上的对应的点组成的集合)（4）通过数形对应，分析应用题。(如:用线段图分析数量关系)2、函数思想（1）函数概念的渗透。小学数学教材从低年段开始，如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化而变化，也是找出其对应关系。正、反比例这部分内容更是集中渗透了函数概念。教师处理这部分教材时，应通过画图、列表等直观形式，引导学生通过观察、比较，归纳发现出两个量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系。（2）函数表示法的渗透小学数学中几何图形的周长，面积和体积公式，实际上就是用解析法来表示变量之间关系的函数关系式。如圆面积公式S=πr²，圆面积随着半径的变化而变化。3、变换的思想变换思想在小学数学教学中通过运算中的恒等变换，几何图形的平移、旋转、对称等变换渗透了变换思想。（四）等量代换的思想等量代换思想是指用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a＝b,b＝c,那么a＝c。（五）化归思想化归思想是指在解决数学问题,时往往不是直接解决原问题,而是将问题进行变换,使其转化为一个或几个已经能够解决的问题,这样的思想叫做化归思想。利用化归思想转化而得到的新问题与原问题相比较,应该为已解决的或较容易解决的问题。所以,化归的方向应该是化隐为显、化繁为简、化难为易、化未知为已知。（六）类比思想类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想,它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。就迁移过程来分,有些类比十分明显、直接,比较简单,如由加法交换律a+b=b+a的学习迁移到乘法交换律a×b=b×a的学习;而有些类比需建立在抽象分析的基础上才能实现,比较复杂。（七）分类思想数学中每一个概念都有其特有的本质特征,它又是按照一定的规律扩展变化的,它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确认识这些概念,就需要具体的概念依据、具体的标准、具体的分析,这就是数学的分类思想,即指按某种标准,将研究的数学对象分成若干部分进行分析研究。分类时要求满足互斥、无遗漏、最简便的原则。（八）统计思想统计思想是指从局部观察资料的统计特征来推断整个系统的状态，或判某某一论断能以多大的概率来保证其正确性，或算出错误判断的概率。统计思想方法是由“局部到整体”、“由特殊上升到一般”的科学方法。如“简单的统计”、“统计表”、“统计图”。（九）极限思想1、从“数量”上看“无限多”如2的倍数有“无限多”个。2、从“图形”上看“无限延伸性”如角的两条边可无限延长。3、从“方法”上看“无限逼近”。如，1÷3=0.333……（十）模型化思想“数学模型”是针对或参照某种事物系统的特征或数量关系,采用形式化的数学语言,概括或近似地表达出来的数学结构。模型化思想就是针对要解决的问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。利用模型化思想解决实际问题,一般分三个步骤:1、根据实际问题的特点,恰当构造数学模型。2、在建立的数学模型上进行推理或运算,求得解答。3、把从数学模型中得到的理论解答返回到现实问题中去。运用模型化思想方法，主要是把现实世界中有待解决或未解决的问题,从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想方法。如:20名同学,每两人握一次手,求握手的次数。又如，打乒乓球的次数问题可以通过建模成组合的问题等。领导、老师们，今天我就“小学数学教学中的数学思想”和大家进行了交流，有说得不到的，希望大家在下面的交流活动中多多提出宝贵的意见，谢谢大家！2008年4月8日