图书销售点的最优选择

1图书销售点的最优选择摘要本文是要在七个区中选择两个区作为图书销售代理点，使得所能供应的大学生数量最大。针对此问题，根据题目中的约束条件，设置决策变量，得到决策目标，从而建立该问题的0-1整数规划模型使得供应的大学生数量最大。经过Matlab编程求解，求得最优解即销售代理点的最佳建立区为56千人区和71千人区，且能够供应的大学生数量的最大值为177千人。经过穷举法的一一枚举，可以验证模型结果的正确性。关键词：图书销售点0-1整数规划模型最优解Matlab2一、问题重述一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生数量最大？建立该问题的模型并求解。二、问题分析本文要求在7个区中选择两个区作为图书销售代理点，使得所能供应的大学生数量最大，即区域的最优选择是本题的关键。要在许多候选区域中选择最优的区域就要制定最优的规划方案，即建立优化模型。每个区域都有选与不选的可能性，这就要用到0-1整数规划模型。由于在选择时存在下列条件的限制，所以要在满足下列条件的前提下建立一个最优模型，从而设计出一个合理有效的投资方案:1．在7个区域中只能建立两个销售代理点；2．每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书。在满足上述要求的前提下，将每两个相邻地区之间连线表示该地区建立售代关系，这种售代关系具有建立与不建立两种选择，显然每个地区只能选择一个销售或者代理，最优方案就是选择权值最大和次大的连线，将上述方案限制转化为约束条件，并使目标函数和约束条件决策变量转化为数学符号，求最优解。三、符号说明A：代表34千人的地区B：代表29千人的地区C：代表42千人的地区D：代表21千人的地区E：代表56千人的地区F：代表18千人的地区G：代表71千人的地区3429422156187131x：AB两地区之间建立售代关系2x：AC两地区之间建立售代关系3x：BE两地区之间建立售代关系4x：BD两地区之间建立售代关系5x：CD两地区之间建立售代关系6x：DG两地区之间建立售代关系7x：DF两地区之间建立售代关系8x：DE两地区之间建立售代关系9x：EF两地区之间建立售代关系10x：FG两地区之间建立售代关系11x：BC两地区之间建立售代关系Y：所能供应的大学生数量f：表示目标函数Y的相反值图1七个区之间的相邻关系图四、模型假设选择销售代理点时，只考虑该地区总人数以及相邻地区，对人员的迁入迁出，人员的消费能力，人们的需求不予考虑：1、只有两个销售代理点，且每个销售代理点只能向该区和其邻近的区售书；42、7个销售区中没有人员的流动；3、书的供应量能够满足学生的需求；4、销售代理点向两个地区的学生售书时价格相同；5、不考虑邻区学生因路费问题而减少书的购买；6、售书多少与人数多少成正比；7、每个学生的消费能力是相等的。五、模型的建立与求解5.1模型的建立决策变量：设在ABCDEFG中的某两地之间售代关系为)11,2,1(ixi。其中1ix表示在其建立售代关系，0ix表示没有建立售代关系。决策目标：以供应的大学生数量最大为目标可得：11109876543217189747739926350857663xxxxxxxxxxxY约束条件：1、只能建立两个销售代理点：21110987654321xxxxxxxxxxx2、每个销售代理点只能向本区和一个相邻区售书，则与每个区建立售代关系的约束条件为：①与A建立售代关系：121xx②与B建立售代关系：111431xxxx③与C建立售代关系：11152xxx④与D建立售代关系：187654xxxxx⑤与E建立售代关系：1983xxx⑥与F建立售代关系：11097xxx⑦与G建立售代关系：1106xx另外变量0ix或)11,2,1(1ixi；综上所述即求如下规划模型的解：11109876543217189747739926350857663xxxxxxxxxxxMaxYs.t.51x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x21x2x11x3x4x11x12x5x11x14x5x6x7x8x13x8x9x17x9x10x16x10x10,1ix(1,2,...,11)i5.2模型的求解运用Matlab软件运行附录程序，由于Matlab软件中bintprog函数求解的是目标函数的最小值，所以要将所求最大值的目标函数乘以-1，转化为求最小值，将程序运行的结果再乘以-1，即可得到目标函数的最大值。运行附录程序可得到如下结果：Optimizationterminated.x=00100100000Fval=-1776即163xx，011109875421xxxxxxxxx，177f上述结果表明可在B、E和D、G之中选择两个作为图书销售代理点，在B、E两个地区中人数较多的是E区为56千人，在D、G两个地区中人数较多的是G区71千人，考虑到地区中的人数问题以及现实中去买书的路费等现实问题时，所以两个销售代理点最好建在E区和G区；又由于177f，故可得到Y=177，即所能供应的大学生数量的最大值为177千人。六、模型的检验把两个销售代理点建在E区和G区，且B、E、D、G四个区的总人数为177千人，符合上述模型最优解的值，在其他五个区中随机选择两个区最为销售代理点，把相邻区域人数加起来得到的总人数都小于177千人，则可验证此模型结果的正确性。七、模型的推广在几个不同的区中正确选择几个有限的图书销售代理点，可以使销售代理点卖出的书最多，从而使获得的利润最大。要正确的选择最优代理点，就需要建立优化模型设计一个合理有效的投资方案。本模型合理运用0-1整数规划模型求得相邻区域间权值最大和次大的两个点，从而得到了最优的两个区域，进而解决了如何有效建立图书销售代理点的问题，同样的，本模型也适合于其他在多个选择中选取有限个最优解的问题。八、参考文献[1]李德宜,李明.数学建模[M].北京:科学出版社,2009.[2]吴建国.数学建模案例精编[M].北京:中国水利水电出版社,2005.[3]刘卫国.MATLAB程序设计与应用[M].北京:高等教育出版社,2006.7.[4]姜启源,谢金星.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.8.7附录Matlab程序f=-[63,76,85,50,63,92,39,77,74,89,71];A=[11111111111;11000000000;10110000001;01001000001;00011111000;00100001100;00000010110;00000100010];b=[2;1;1;1;1;1;1;1];[x,Fval]=bintprog(f,A,b)