2018-2019学年九年级上册数学(北师大版)期中模拟测试题(含答案)

期中模拟测试题一、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）1.如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸=𝐴𝐹，过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝐸𝐹交𝐷𝐶于点𝐻，过𝐹作𝐹𝐺⊥𝐸𝐹交𝐵𝐶于𝐺，当𝐴𝐷、𝐴𝐵满足________（关系）时，四边形𝐸𝐹𝐺𝐻为矩形．2.某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48.6元/盒．设平均每次降价的百分率为𝑥，则根据题意，可列方程为________．3.若关于𝑥的方程3(𝑥−1)(𝑥−2𝑚)=(𝑚−12)𝑥的两根之和与两根之积相等，则方程的根为________．4.如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，𝐸是𝐵𝐶边上的动点，𝐵𝐹⊥𝐴𝐸交𝐶𝐷于点𝐹，垂足为𝐺，连结𝐶𝐺．则𝐶𝐺的最小值为________．5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是边𝐵𝐶上一动点，𝐷𝐸 // 𝐴𝐶，𝐷𝐹 // 𝐴𝐵，对△𝐴𝐵𝐶及线段𝐴𝐷添加条件________使得四边形𝐴𝐸𝐹𝐷是正方形．6.方程(𝑥+2)(𝑥+3)(𝑥+6)(𝑥+9)=3𝑥2的解的个数为________．7.若一元二次方程𝑥2−𝑥−𝑘=0有两个不相等的实数根，则𝑘________．8.在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴𝐵𝐶=45∘，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于𝐷，𝐶𝐷=2，𝐴𝐷=3，则𝐵𝐷的长为________．9.在边长为2的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=60∘，𝑀是𝐴𝐷边的中点，若线段𝑀𝐴绕点𝑀旋转得到线段𝑀𝐴′(1)如图①，当线段𝑀𝐴绕点𝑀逆时针旋转60∘时，线段𝐴𝐴′的长=________；(2)如图②，连接𝐴′𝐶，则𝐴′𝐶长度的最小值是________．10.已知一元二次方程𝑥2−𝑚𝑥−2=0的两根互为相反数，则𝑚=________．二、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）11.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线相互垂直C.对角线相互平分D.对角互补12.若代数式𝑥2−6𝑥+5的值是12，则𝑥的值为（）A.7或−1B.1或−5C.−1或−5D.不能确定13.符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（）A.四条边相等B.两组邻边分别相等C.对角线相互垂直平分D.两条对角线分别平分一组对角14.一元二次方程2𝑥2+3𝑥+1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定15.如图，小华剪了两条宽均为√3的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60∘，则它们重叠部分的面积为（）A.√2B.1C.23√3D.2√316.方程𝑥2−2𝑥−1=0的两个解为𝑥1和𝑥2，则𝑥1+𝑥2的值为（）A.2B.−2C.1D.−117.矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=8，矩形𝐶𝐸𝐹𝐺上的点𝐺在𝐶𝐷边，𝐸𝐹=𝑎，𝐶𝐸=2𝑎，连接𝐵𝐷、𝐵𝐹、𝐷𝐹，则△𝐵𝐷𝐹的面积是（）A.32B.16C.8D.16+𝑎218.方程(𝑥+1)2=4的解是（）A.𝑥1=−3，𝑥2=3B.𝑥1=−3，𝑥2=1C.𝑥1=−1，𝑥2=1D.𝑥1=1，𝑥2=319.菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（）A.20B.24C.48D.5020.已知下列命题：①两条对角线相等的四边形是矩形；②圆的切线垂直于半径；③圆周角等于圆心角的一半；④若半径分别为3，1的两圆相切，则两圆的圆心距为2或4．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21.解方程：(1)(𝑥+1)(𝑥−3)=32(2)2𝑥2+3𝑥−1=0（用配方法）22.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐸𝐷⊥𝐵𝐶，𝐷𝐹 // 𝐴𝐵，求证：𝐴𝐷与𝐸𝐹互相垂直平分．23.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐸 // 𝐵𝐶，𝐷𝐸 // 𝐴𝐵．试说明：(1)𝐴𝐸=𝐷𝐶；(2)四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为矩形．24.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90∘，𝐴𝐵=12𝑐𝑚，𝐵𝐶=24𝑐𝑚，动点𝑃从点𝐴开始沿着边𝐴𝐵向点𝐵以2𝑐𝑚/𝑠的速度移动（不与点𝐵重合），动点𝑄从点𝐵开始沿着边𝐵𝐶向点𝐶以4𝑐𝑚/𝑠的速度移动（不与点𝐶重合）．若𝑃、𝑄两点同时移动𝑡(𝑠)；(1)当移动几秒时，△𝐵𝑃𝑄的面积为32𝑐𝑚2．(2)设四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积为𝑆(𝑐𝑚2)，当移动几秒时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积为108𝑐𝑚2？25.百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？26.四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，点𝐸为线段𝐴𝐶上一点，连接𝐷𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐷𝐸，交射线𝐵𝐶于点𝐹，以𝐷𝐸、𝐸𝐹为邻边作矩形𝐷𝐸𝐹𝐺，连接𝐶𝐺．(1)如图1，求证：矩形𝐷𝐸𝐹𝐺是正方形；(2)若𝐴𝐵=2，𝐶𝐸=√2，求𝐶𝐺的长度；(3)当线段𝐷𝐸与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的某条边的夹角是30∘时，直接写出∠𝐸𝐹𝐶的度数．答案1.𝐴𝐵=𝐴𝐷2.60(1−𝑥)2=48.63.9±3√74.√5−15.△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐴𝐷是角平分线6.27.−148.69.1；(2)作𝑀𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸．∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=60∘，∴∠𝐸𝐷𝑀=60∘，在直角△𝑀𝐷𝐸中，𝐷𝐸=𝑀𝐷⋅cos∠𝐸𝐷𝑀=12×1=12，𝑀𝐸=𝑀𝐷⋅sin∠𝐸𝐷𝑀=√32，则𝐸𝐶=𝐶𝐷+𝐸𝐷=2+12=52，在直角△𝐶𝐸𝑀中，𝑀𝐶=√𝐶𝐸2+𝑀𝐸2=√(2+12)2+(√32)2=√7，则𝐴′𝐶长度的最小值是：√7−1．故答案是：√7−1．10.011-20：BABADABBBA21.解：(1)(𝑥+1)(𝑥−3)=32去括号，得𝑥2−2𝑥−3=32移项及合并同类项，得𝑥2−2𝑥−35=0∴(𝑥−7)(𝑥+5)=0∴𝑥−7=0或𝑥+5=0，解得，𝑥1=7，𝑥2=−5；(2)2𝑥2+3𝑥−1=0（用配方法）2(𝑥2+32𝑥)=1(𝑥2+32𝑥)=12(𝑥+34)2−916=12(𝑥+34)2=1716∴𝑥+34=±√174∴𝑥=±√174−34，∴𝑥1=√174−34,𝑥2=−√174−34．22.证明：∵如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，𝐸𝐷⊥𝐵𝐶，∴𝐸𝐷 // 𝐴𝐶，则𝐸𝐷 // 𝐴𝐹．又∵𝐷𝐹 // 𝐴𝐵，∴四边形𝐴𝐸𝐷𝐹为平行四边形．又𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∴平行四边形𝐴𝐸𝐷𝐹为菱形，∴𝐴𝐷与𝐸𝐹互相垂直平分．23.证明：(1)如图，∵𝐴𝐸 // 𝐵𝐶，∴𝐴𝐸 // 𝐵𝐷．又∵𝐷𝐸 // 𝐴𝐵，∴四边形𝐴𝐵𝐷𝐸是平行四边形，∴𝐴𝐸=𝐵𝐷．∵𝐷为𝐵𝐶的中点，∴𝐵𝐷=𝐷𝐶，∴𝐴𝐸=𝐷𝐶；(2)∵𝐴𝐸 // 𝐶𝐷，𝐴𝐸=𝐵𝐷=𝐷𝐶，即𝐴𝐸=𝐷𝐶，∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐸是平行四边形．又∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶的中点，∴𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，∴平行四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为矩形．24.当移动2秒或4秒时，△𝐵𝑃𝑄的面积为32𝑐𝑚2．(2)𝑆=𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐵𝑃𝑄=12𝐴𝐵⋅𝐵𝐶−(24𝑡−4𝑡2)=4𝑡2−24𝑡+144=108，解得：𝑡=3．答：当移动3秒时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积为108𝑐𝑚2．25.每件童装应定价80．26.(1)证明：作𝐸𝑃⊥𝐶𝐷于𝑃，𝐸𝑄⊥𝐵𝐶于𝑄，∵∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐵𝐶𝐴，∴𝐸𝑄=𝐸𝑃，∵∠𝑄𝐸𝐹+∠𝐹𝐸𝐶=45∘，∠𝑃𝐸𝐷+∠𝐹𝐸𝐶=45∘，∴∠𝑄𝐸𝐹=∠𝑃𝐸𝐷，在𝑅𝑡△𝐸𝑄𝐹和𝑅𝑡△𝐸𝑃𝐷中，{∠𝑄𝐸𝐹=∠𝑃𝐸𝐷𝐸𝑄=𝐸𝑃∠𝐸𝑄𝐹=∠𝐸𝑃𝐷，∴𝑅𝑡△𝐸𝑄𝐹≅𝑅𝑡△𝐸𝑃𝐷，∴𝐸𝐹=𝐸𝐷，∴矩形𝐷𝐸𝐹𝐺是正方形；(2)如图2中，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中．𝐴𝐶=√2𝐴𝐵=2√2，∵𝐸𝐶=√2，∴𝐴𝐸=𝐶𝐸，∴点𝐹与𝐶重合，此时△𝐷𝐶𝐺是等腰直角三角形，易知𝐶𝐺=√2．(3)①当𝐷𝐸与𝐴𝐷的夹角为30∘时，∠𝐸𝐹𝐶=120∘，②当𝐷𝐸与𝐷𝐶的夹角为30∘时，∠𝐸𝐹𝐶=30∘综上所述，∠𝐸𝐹𝐶=120∘或30∘．