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2019/10/241概率论与数理统计2概率论3第三章多维随机变量及其分布关键词:二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度4§1二维随机变量问题的提出例1:研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值,研究身高和体重之间的关系,这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2:研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定,而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。5定义:设E是一个随机试验,样本空间S={e};设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。(,)()()(,)FxyPXxYyPXxYy记成0x,xyySey,XeYex定义:设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。6分布函数的性质1212(,)(,)xxFxyFxyx1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)(,)Fxy1212(,)(,)yyFxyFxy20(,)1(,)1,FxyFxy,对任意(,)(,)(,)0FyFxF1,,Fxyxy。关于单调不减,即:70(,)(,)limFxyFxyx2y1x1y20(,)(,)limFxyFxy12124,xxyy若22211211(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy3,,Fxyxy。关于右连续,即:121222211211,(,)(,)(,)(,)0PxXxyYyFxyFxyFxyFxy因为8二维离散型随机变量定义:若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对,则称(X,Y)是离散型随机变量。,,,,1,2,iiXYxyij设所有可能取值为,,,1,2,ijijPXxYypij称y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2j…pi1…pi2pij………………………1x2xix离散型随机变量的联合概率分布:为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示:9分布律的性质例1:设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值,试求(X,Y)的联合概率分布。10,1,2,ijpij,11(,)()(|)41,2,3,4PXiYjPXiPYjXiiiji;116YX123440001161¼⅛11220⅛1161123001161121121ijijP解:(X=i,Y=j)的取值情况为:i=1,2,3,4;j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为:102112,,1,2,iitNttPoissonXtittXX例2:某足球队在任何长度为的时间区间内得黄牌或红牌的次数服从参数为的分布记为比赛进行分钟后的得牌数。试写出的联合分布。,0,1,2,!ktetPNtkkk解:12121,|PXiXjPXiPXjXi211211,0,1,2,,,1,...!()!jiitttettetijiiiji11二维连续型随机变量,,,,,(,)(,)yxXYFxyfxyxyFxyfuvdudv对于二维随机变量的分布函数如果存在非负函数,使对于任意,有定义:,XY连续型的二维称为随机变量,,XYfxy二维随机变量称为的概率密度12概率密度的性质:1.,0fxy2.(,)1fxydxdy3.,((,))(,)GGxoyXYGPXYGfxydxdy设是平面上的区域,点落在内的概率为:(,)1((,))(,)zfxyxoyPXYGzfxy1在几何上,表示空间一个曲面,介于它和平面的空间区域的体积为2等于以G为底,以曲面为顶面的柱体体积。所以X,Y落在面积为零的区域的注:概率为零。2(,)(,)(,)Fxyfxyfxyxy4.在的连续点(x,y),有13例3:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度:(23),00(,)0,xykexyfxy,其他2(,)Fxy求分布函数;3()PYX求的概率(1)k求常数;(,)1,fxydxdy--解:(1)利用得230061xykedxedyk6k14(23)6,00(,)0,xyexyfxy,其他2(,)(,)yxFxyfuvdudv(23)03()6xyyPYXedxdy(23)006,0,00,yxuvedudvxy其他230023,0,00,xyuveduedvxy其他23(1)(1),0,00,xyeexy其他3203(|)yxyeedy3203yyeedy503yedy5033|55ye15例4:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度(1)求常数k;(2)求概率解:,01(,)0,kxyxyfxy其他1(,)1fxydxdy利用1(,)fxydxdy得:2(1)PXY(1)PXY100ykxydxdy13028kkydy8k11208xxdxxydy122204[(1)]xxxdx1201114(12)236xxdx1xyyx016§2边缘分布二维随机变量(X,Y)作为整体,有分布函数其中X和Y都是随机变量,它们的分布函数记为:称为边缘分布函数。(,),Fxy()()XYFxFy,,()(,)()(,)XYFxFxFyFy()()(,)YFyPYyFy同理得:()()(,)(,)XFxPXxPXxYFx(,)()XFxyyFx即在分布函数中令,就能得到事实上,17对于离散型随机变量(X,Y),分布律为(),1,2,ijijPXxYypij,,1()()1,2,iiijijPXxPXxYppi记为,==1()()1,2,jjijjiPYyPXYyppj记为,==iiijjijpppjppi记号中表示是由关于求和后得到的;同样是由关于求和后得到的;…………………………p11…p12p1j…p1·1xp21…p22p2j…p2·2xpi1…pi2pij…pi·ixXYy1y2…yj…iPXxp·1p·2p.j……1jPYyX,Y的边缘分布律为:注意:18对于连续型随机变量(X,Y),概率密度为(,)fxy()(,)()(,)XYfxfxydyfyfxydx()XFx(,)Fx(,)xftydydt()xXftdt()YFy(,)Fy(,)yfxtdxdt()yYftdt事实上,同理:X,Y的边缘概率密度为:190,0,1,,10,2,20,,XYXYXY例1:对一群体的吸烟及健康状况进行调查,引入随机变量健康不吸烟和如下:一般一天吸烟不多于15支不健康一天吸烟多于15支根据调查结果,得的如下的联合概率分布:00.0250.350.04YX0102010.02520.0200.100.250.150.0412|20XYPXY试写出关于和的边缘概率分布;2求的值。X0210.3700.4150.215p解:1由题意可得:Y020100.3150.3950.290p0.2522|200.7940.315PXY20例2:(X,Y)的联合分布律为求:(1)a,b的值;(2)X,Y的边缘分布律;(3)(1|1)PXYYX-1100.20.1a120.10.2b(1|1)0.5PYX已知:0.2(1|1)0.3aPYX又X10.420.6ipjpY0.30.5-1100.223(1|1)0.45PXY0.210.3a2a0.1b=0.3,(2)解:(1)由分布律性质知a+b+0.6=1即a+b=0.421例3:设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布,其概率密度为求边缘概率密度解:1,(,)(,)0,AxyGfxy其他2xyx26,(,)0,xyxfxy其他()()XYfxfy,()(,)Xfxfxydy2266(),010,xxdyxxx其他()(,)Yfyfxydx66(),010,yydxyyy其他22212221122222121212121241(,)21()()()()1exp22(1),0011,fxyxxyyXXYyYx例:设二维随机变量的概率密度为:其中,,,,都是常数,且,,;,我们称为服从参121222(,)(;;)1212XYN数为,,,,的二维正态分布,记为:;试求二维正态随机变量的边,,缘概率密度。232211222222121212()(,)()()()()11exp22(1)21Xfxfxydyxxyydy解:2212122211()122(1)212121xyxeedy221221222112()1()22(1)21211221xyxeedy2121()2112xex2222()221(),2xYfyey同理即二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且都不依赖于参数24§3条件分布正如对两事件A,B,若可以考虑条件概率一样,对二维离散型随机变量(X,Y),其分布律为:我们也可以考虑条件概率(|)PBA()0,PA(),1,2,ijijPXxYypij,()0,jjPYyp若(|)1,2,ijPXxYyi()(|)1,2,()ijijijjjPXxYyPPXxYyiPYyp,由条件概率公式可得:25定义:设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的yj,()0jPYy若,则称:()(|)1,2()ijijjiiiPXxYypPYyXxjPXxp,jYyX为在条件下,随机变量的;条件分布律()(|)1,2()ijijijjjPXxYyPPXxYyiPYyP,()0iPXx若,则称:iXxY为在条件下,随机变量的。条件分布律同样,对于固定的xi,26例1:盒子里装有3只黑球,4只红球,3只白球,在其中任取2球,以X表示取到黑球的数目,Y表示取到红球
本文标题:概率论与数理统计经典课件概率论
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