多独立样本Kruskal-Wallis检验的原理及其实证分析

多独立样本Kruskal-Wallis检验的原理及其实证分析张林泉（广东女子职业技术学院信息资源中心，广东广州511450）摘要：阐述了多独立样本Kruskal-Wallis检验的基本思想和如何构造K-W统计量，运用多独立样本Kruskal-Wallis检验方法进行了实例分析，并进行H检验的事后比较，给出应用Mathematica和SPSS做出的相关图形。关键词：Kruskal-Wallis检验；K-W统计量；Mathematica中图分类号：O212.7ＭＲ（２０００）ＳｕｂｊｅｃｔＣｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：00A69文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－０６８７（２０14）０1－００14－０3非参数检验在总体分布未知时有很大的优越性。这时如果利用传统的假定分布已知的检验，就会产生错误甚至灾难。非参数检验总是比传统检验安全。但是在总体分布形式已知时，非参数检验就不如传统方法效率高。这是因为非参数方法利用的信息要少些。往往在传统方法可以拒绝零假设的情况，非参数检验无法拒绝。但非参数统计在总体未知时效率要比传统方法高，有时要高很多。是否用非参数统计方法，要根据对总体分布的了解程度来确定[1]。笔者就Kruskal-Wallis检验方法及其在经济研究中的应用进行分析，以期对经济分析领域的实证研究提供借鉴。1多独立样本Kruskal-Wallis检验的基本思想多独立样本Kruskal-Wallis检验（又称H检验）的实质上是两独立样本时的Mann-WhitneyU检验在多个独立样本下的推广，用于检验多个总体的分布是否存在显著差异。其原假设是：多个独立样本来自的多个总体的分布无显著差异。多独立样本Kruskal-Wallis检验的基本思想是：首先，将多组样本数混合并按升序排序，求出各变量值的秩；然后，考察各组秩的均值是否存在显著差异。如果各组秩的均值不存在显著差异，则认为多组数据充分混合，数值相差不大，可以认为多个总体的分布无显著差异；反之，如果各组秩的均值存在显著差异，则是多组数据无法混合，有些组的数值普遍偏大，有些组的数值普遍偏小，可认为多个总体的分布存在显著差异，至少有一个样本不同于其他样本。为研究各组的秩差异，可借鉴方差分析的方法。方差分析认为，各样本组秩的总变差一方面源于各样本组之间的差异（组间差），另一方面源于各样本组内的抽样误差（组内差）。如果各样本组秩的总变差的大部分可由组间差解释，则表明各样本组的总体分布存在显著差异；反之，如果各样本组秩的总变差的大部分不能由组间差解释，则表明各样本组的总体分布没有显著差异[2]。由上可以得出多独立样本非参数检验的目的（由独立样本数据推断多个总体的分布是否存在显著差异），基本假设（H0：多个总体分布无显著差异），数据要求（样本数据和分组标志）。2构造K-W统计量基于以上思路可以构造K-W统计量，即———————————————————眼收稿日期演２０13－03－14眼基金项目演广东省教育科学“十二五”规划项目（2012JK078）；广东女子职业技术学院项目（ZXB201206）眼作者简介演张林泉（1965-），男，广东化州人，副研究员，硕士，研究方向：应用统计分析，数量经济学。第31卷第1期苏州科技学院学报（自然科学版）Ｖｏｌ．31Ｎｏ．1２０14年3月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Mar．２０14第1期
                   K-W＝秩的组间平方和秩总平方和的平均（1）需要检验的原假设为各组之间不存在差异，或者说各组的样本来自的总体具有相同的中心或均值或中位数。在原假设为真时，各组样本的秩平均应该与全体样本的秩平均1+2+…+nn=n+12比较接近。所以组间平方和为组间平方和＝ki=1移niRini-n+12移移2（2）恰好是刻画这种接近程度的一个统计量，除以全体样本秩方差的平均，可以消除量纲的影响。样本方差的自由度为n-1。所以秩总平方和的平均＝1n-1ki=1移nij=1移Rij-n+12移移2=1n-1ni=1移i-n+12移移2=1n-1ni=1移i2-n（n+1）24移移＝1n-1n（n+1）（2n+1）6-n（n+1）24移移=n（n+1）12（3）因此，Kruskal-Wallis秩和统计量K-W为K-W＝秩的组间平方和秩总平方和的平均＝12n（n+1）ki=1移niRini-n+12移移2＝12n（n+1）ki=1移Ri2ni－3（n+1）（4）其中k为样本组数，n是总样本量，ni是第i组的样本量；Ri是第i组样本中的秩总和，Rij是第i组样本中的第j个观察值的秩值。如果样本中存在结值，需要调整公式（4）中的K-W统计量，校正系数C为C＝1-移（子j3-子j）n3-n（5）其中子j第j个结值的个数。调整后的KWc统计量为KWc=KW/C（6）如果每组样本中的观察数目至少有5个，那么样本统计量KWc非常接近自由度为k-1的卡方分布。因此，用卡方分布来决定KWc统计量的检验[2-3]。3H检验后比较若检验结果拒绝无效假设，认为各总体的分布位置不全相同，可进一步两两比较。H检验后的两两比较公式驻R（crit.）=t（n-k，琢/2）·n（n+1）（n-1-H）12（n-K）1ni+1nj移移姨（7）其中，驻R（crit.）等于第i组与第j组秩均值差的临界值。ni是第i组的样本量，nj是第j组的样本量[4-5]。4应用实例希望对A、B、C、D四个城市的周岁儿童身高进行比较分析，采用独立抽样的方式获得四组独立样本，数据来源见文献6。把K个样本的观察的值混合评秩。首先，必须将来自四个城市的20名儿童统一按身高编排秩，见表1中的第3、5、7、9列所示。表1来自四个不同城市儿童身高及统一秩值张林泉：多独立样本Kruskal-Wallis检验的原理及其实证分析15２０14年苏州科技学院学报（自然科学版）75.0072.50DCBA70.0077.50表2H检验后比较















字0.９52（３）＝０.３５２，字0.052（３）＝7.815城市标志周岁儿童身高/cm8－0.1260.10.20.34GrandMedian=74.0080.00计算每个样本的秩总和。n1=5，n2=5，n3=5，n4=5，n=20，可得R1=72，R2=41，R3=79，R4=18，k=4，H0：四个总体的身高分布是相同的。计算K-W检验统计量。用（4）式计算K-W统计量为K-W＝1220（21）（72）25+（41）25+（79）25+（18）25－3（20+1）＝13.74用（5）式计算校正系数C，从表1可见，身高相等秩值的个数分别为71cm3个，72cm3个，74cm2个，75cm2个，76cm2个，78cm3个。所以C＝1-（33－3+33－3+23-2+23-2++23-2+33－3）/（203－20）＝0.988722调整后的KWc＝KW/C=13.74/0.988722=13.89962。检验结论。查表可知道，自由度为k-1=3的卡方分布，在琢=0.05显著水平下，分布的右尾临界值为字0.052（３）＝7.815（见图1），由于13.899627.8145，所以拒绝原假设。认为四个城市儿童身高的总体分布存在显著差异。因此，秩和最低的D组至少与秩和最高的C组是不同的。由图2可以看出B组、D组的中位数低于人员总汇的中位数；A组、C组的中位数高于人员总汇的中位数。图1自由度为3卡方分布图图2四个城市儿童身高中位数对比盒形图Kruskal-Wallis秩和检验给出的结果只能表明各样本总体上是否存在差异，当总体上检验表明存在差异时，具体是哪几个组间存在差异却不能给出，这种情况下就需要进一步的两两比较[7]。由（7）式得到驻R（crit.）=2.1199·[20（20+1）（20-1-13.9）]/[12（20-4）]×（1/5+1/5）姨=4.47825结语文章阐述了多独立样本Kruskal-Wallis检验的基本思想和如何构造KW统计量，运用多独立样本Kruskal-Wallis检验分析了四个城市的周岁而儿童身高的差异性，研究发现：四个城市的周岁儿童身高存在显著差异。H检验后比较（见表2），除了A、C没有显著差异外，其余两城市比较均显著差异。并给出应用Mathematica[8]和SPSS做出的相关图形。参考文献：[1]吴喜之.统计学：从数据到结论[M].3版.北京：中国统计出版社，2006：35，179-193.[2]李金昌，苏为华.统计学[M].3版.北京：机械工业出版社，2012：336-340.[3]RonLarson，BestyFarber.基础统计学[M].4版.北京：中国人民大学出版社，2010：397-400.[4]ConoverWJ.PracticalNonparametricStatistics[M].2thed.NewYork：JohnWiley&Sons，Inc，1980.[5]ConoverWJ.PracticalNonparametricStatistics[M].3thed.NewYork：JohnWiley&Sons，Inc，1999.[6]薛微.统计分析与SPSS的应用[M].3版.北京：中国人民大学出版社，2011：182-217.[7]何晓群.多元统计分析[M].3版.北京：中国人民大学出版社，2012．[8]StephenWolfram.TheMathematicaBook[M].5thed.Wolfram：WolframMedia，2003.（下转第38页）16２０14年苏州科技学院学报（自然科学版）HosoyaindexofQuadrangularchainsTIANWenwen，TIANShuangliang（SchoolofMathematicsandComputerScience，NorthwestUniversityforNationalities，Lanzhou730030，China）Abstract：Quadrangularchainisaconnectedgraphconsistingofseveralunitsquaresequences,ofwhichanytwoadjacentsquareshaveonlyonecutedge.ThispaperpresentstheHosoyaindexanditscomputationalformulaofQuadrangularchainsmadeupbynunitsquaresequencesundertwonon-isomorphicconnectedpositions.Keywords：Quadrangularchains；Hosoyaindex；Fibonaccinumber责任编辑：谢金春（上接第16页）PrinciplesofKruskal-WallistestanditsempiricalanalysisZHANGLinquan（CenterofInformationResource，GuangdongWomen’sPolytechnicCollege，Guangzhou511450，China）Abstract：AfterdiscussingthebasicprinciplesofKruskal-WallistestandtheconstructionofK-Wstatistic,thispaperappliesKruska