圆锥曲线中的定点--定值问题

圆锥曲线中的定点、定值问题题型一.圆锥曲线中的定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本思路:把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．例1.已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，其右焦点为(1,0)，点P1，32在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；[来源:Z_xx_k.Com](2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于(不同于点A的)M，N两点，试判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．[自主解答](1)设椭圆E的左右焦点分别为F1，F2，∵椭圆E右焦点为(1,0)，∴c＝1，又点P1，32在椭圆E上，∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝1＋12＋322＋1－12＋322＝4，∴a＝2，b＝a2－c2＝3，∴椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)①当直线MN与x轴垂直时，直线AM的方程为y＝x＋2，[来源:学科网ZXXK]联立y＝x＋2，3x2＋4y2＝12，得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－27或x＝－2(舍)．此时直线MN的方程为x＝－27，直线MN过x轴上一点Q－27，0.②当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y＝kx＋n.则由y＝kx＋n，3x2＋4y2＝12，得(3＋4k2)x2＋8knx＋4n2－12＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当Δ＝(8kn)2－4×(3＋4k2)(4n2－12)0，即n2－4k2－30时，则有x1＋x2＝－8kn3＋4k2，x1x2＝4n2－123＋4k2，y1y2＝(kx1＋n)(kx2＋n)＝k2x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝3n2－12k23＋4k2.而AM＝(x1＋2，y1)，AN(x2＋2，y2)，由题意可知，AM⊥AN，即AM·AN＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝7n2－16kn＋4k23＋4k2＝0，解得n＝2k或n＝27k.当n＝2k时，直线MN的方程为y＝k(x＋2)，过点A，与题意不符，舍去；当n＝27k时，n2－4k2－30，直线MN的方程为y＝kx＋27，显然过点Q－27，0.综上，直线MN一定经过x轴上一定点Q－27，0.例2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝22，左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，3)，点F2在线段PF1的中垂线上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标．解：(1)由椭圆C的离心率e＝22，得ca＝22，其中c＝a2－b2，椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．又∵点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝(3)2＋(2－c)2，解得c＝1，∴a2＝2，b2＝1.∴椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意直线MN的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－4km2k2＋1，x1x2＝2m2－22k2＋1，且kF2M＝kx1＋mx1－1，kF2N＝kx2＋mx2－1.由已知α＋β＝π得kF2M＋kF2N＝0，即kx1＋mx1－1＋kx2＋mx2－1＝0.化简得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，所以2k·2m2－22k2＋1－4kmm－k2k2＋1－2m＝0，整理得m＝－2k.故直线MN的方程为y＝k(x－2)，因此直线MN过定点，该定点的坐标为(2,0).题型二.圆锥曲线中的定值问题求解定值问题的“三个”步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．例3.已知椭圆134:22yxC,A为椭圆C上的点，其坐标为)23,1(，E,F是椭圆C上的两动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，求证：直线EF的斜率为定值，并求出该定值。例4.已知椭圆)0(1:2222babyaxG的离心率为21，过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(M在第一象限)（1）求椭圆G的方程。（2）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点，判断直线MB,MC是否关于直线m对称，并说明理由。练习：1.已知椭圆1422yx的左顶点为A，不过点A的直线l；y=kx+b与椭圆交于不同的两点P,Q。当0AQAP时，求k与b的关系，并证明直线l过定点。2.如图，椭圆E：22221(0)xyabab的左焦点为1F，右焦点为2F，离心率12e，过1F的直线交椭圆于,AB两点，且2ABF△的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线4x相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：解法一：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因为e＝12，即ca＝12，所以c＝1，所以b＝a2－c2＝3.故椭圆E的方程是x24＋y23＝1.(2)由y＝kx＋m，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－4km4k2＋3＝－4km，y0＝kx0＋m＝3m，所以P－4km，3m.由x＝4，y＝kx＋m得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．设M(x1,0)，则MP→·MQ→＝0对满足(*)式的m、k恒成立．因为MP→＝－4km－x1，3m，MQ→＝(4－x1,4k＋m)，由MP→·MQ→＝0，得－16km＋4kx1m－4x1＋x21＋12km＋3＝0，整理，得(4x1－4)km＋x21－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以4x1－4＝0，x21－4x1＋3＝0，解得x1＝1.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.解法二：(1)同解法一．(2)由y＝kx＋m，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－4km4k2＋3＝－4km，y0＝kx0＋m＝3m，所以P－4km，3m.由x＝4，y＝kx＋m，得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．取k＝0，m＝3，此时P(0，3)，Q(4，3)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－3)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－12，m＝2，此时P1，32，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为x－522＋y－342＝4516，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．以下证明M(1,0)就是满足条件的点：因为M的坐标为(1,0)，所以MP→＝－4km－1，3m，MQ→＝(3,4k＋m)，从而MP→·MQ→＝－12km－3＋12km＋3＝0，故恒有MP→⊥MQ→，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.3.已知A,B,C是长轴为4，焦点在x轴上的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O，且ACBCBCAC2,0（1）求椭圆的方程。（2）如果椭圆上的两点P,Q，使得PCQ的平分线垂直于OA，问是否存在实数，使得ABPQ？说明理由.4.过点C(0,1)的椭圆)0(12222babyax的离心率为23，椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长.(2)当点P异于点B时，求证：OQOP为定值.