第二章-弹性力学平面问题有限元法

第二章弹性力学平面问题有限元法2.1有限元法的基本思想及优越性1.在应用有限元法时，我们首先将一个连续的弹性体看作由许多尺寸有限的小单元---有限元组成。这就是所谓区域划分，在数学上称为“离散化”。2.根据计算对象的简化模型，单元的形状，取成平面三角形或四边形，四面体或六面体等。单元与单元之间，通过若干个称为“节点”的点铰接相连，由此组合成整体。3.以一个个小单元为计算单位，首先进行单元分析，然后把它们组装起来，进行整体分析，最后求出结构的近似解。这种把复杂结构看成有限个单元组成的整体，就是有限元法的基本思想。有限元法是从基于能量的变分法发展而来的。如应用最小势能原理的雷利---里兹法，当按位移求解时，它首先要寻找一个满足整个弹性体几何边界条件的位移函数，这对工程实际问题往往有困难。而用有限元法时，将结构进行离散，从一个个单元入手，只要假设单元上的分片插值函数，然后综合起来，代替整个域上的位移函数，这就使问题大为简便和灵活。因此，有限元法是以变分原理和分片插值为基础的。得到的是近似解。（1）有限元法直接在力学模型上进行离散化（剖分），物理概念清晰，明白易懂。（2）有限元法有较好的适应性。对于简单问题和复杂问题基本上同等处理。（3）有限元法的各个计算步骤，如单元分析，总体分析和方程解算等都较易标准化和程式化,有一套比较固定的分析顺序，目前已发展成各种通用程序，便于掌握和使用。有限元法应用于应力分析，按所选取的未知量不同可分为三类：(1)位移法--取节点位移作为基本未知量；(2)力法--取节点力，作为基本未知量；(3)混合法--取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量。在推导有限元方程时，主要有两种方法：直接法（如直接刚度法）；变分法（如固体力学中的最小势能原理和最小余能原理）把问题归结为求泛函的极值问题。作为初步介绍，我们将以直接刚度法来讨论弹性力学平面问题中的有限元法概念。有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。真实系统有限元模型节点和单元节点：空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值矩阵描述(称为刚度或系数矩阵)单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。载荷载荷有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。1.每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。2.作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。3.尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25,000，000个刚度系数。节点自由度是随连接该节点单元类型变化的JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ用有限元法对弹性力学平面问题进行应力分析，不仅具有实际意义，而且带有一定的典型性。通过它可以看到:(1)一般情况下此处理问题的方法(2)有限元法的特点(3)使用中的应注意的问题可为今后进一步的深入研究打下基础。当取节点位移为基本未知量时，有限元法的解题步骤归纳如下：下面我们就按上述顺序介绍。应力计算方程求解整体分析区域剖分单元分析2.2弹性体的剖分作为用有限元法解决弹性力学问题的第一步，必须先对弹性体区域进行剖分。对于平面问题来说，最简单的方法是用直线将弹性体区域剖分为有限个三角形或四边形单元。本章将只讨论三个节点的三角形单元。图2-1剖分要一直进行到弹性区域的边界上当边界是直线段时，就取其为三角形单元的一条边；当边界是曲线时，则在每小段上用相应的直线近似地代替曲线而作为三角形单元的一边，如图2-1单元分得越小，计算结构越精确。因此，应当在计算机容量的允许的范围内，尽可能地提高工程上的精确要求，适当地确定单元的大小和数目。单元的大小和数目要根据精度的要求和计算机容量来确定。1）任意一个三角形单元的顶点，必须同时也是其相邻的三角形的单元的顶点（如图2-2a)，而不能是其相邻三角形的内点（如图2-2b)。图2-2a图2-2b•具体进行剖分时，一般应注意以下几点：2）尽可能使同一个三角形单元各边的长度相差不太大。此外在三角形单元中最好不要出现钝角。因此，在图2-3a、b两种剖分式中，虽然都涉及到同样的四个顶点，但我们通常都采用a，而不采用b。图2-3a图2-3b3）在事先估计应力较为集中、应力变化较大的地方，例如孔洞附近以及形状突变的角点等处，单元应分得小一些；在应力变化比较平缓的地方，如离开孔洞一定的距离处，单元可以分得比较大一点，如图2-4。图2-4有时应力情况事先无法估计，可先采用比较均匀的剖分法进行一次初算，然后经初算的结果重新合理剖分，再进行第二次计算，或用光弹性的方法事先对应力场作一个大概的了解，再在此基础上作合理的剖分和计算，这也是一种常用的方法。4）在厚度或材料常数有突变的地方，除了应把这些部位的单元分得较小，较密一些以外，还必须把突变线作为单元的分界线。也就是说，在一个单元内部，只能包含一个厚度和一种材料常数。5）当整个弹性体区域在几何上具有对称轴，而载荷又对称于该轴或反对称于该轴时，则其位移和应力也必然具有这种对称性质。为了减少计算量，只需取其一部分作为求解区域进行单元剖分和计算即可。图2-4实际上只取了整个弹性体区域的四分之一。作了这样的剖分之后，再以三角形单元的顶点作为节点（注意，如果边界上有集中力，则一般将其作用点选定为节点），然后对单元和节点分别进行编号。编号的顺序不影响计算结果，原则上是可以任意的。但用直接法求解有限元法的基本方程时，从压缩计算机存储量的角度来看，在对节点编号时应注意，单元的两个相邻节点编号之差应尽可能地小。因为这个差值就反映在方程组的系数矩阵（总刚度矩阵）的带宽上，它直接决定了系数矩阵元素的存储数量。有关问题，以后还要作详细的说明。2.3单元分析在进行了弹性体的剖分后，可任取一单元作为研究对象。设某三角形单元e的节点编号为i,j,m,（为了在以后的计算中使三角形的面积不致为负值，规定i,j,m的次序为逆时针方向。）并设三个节点i,j,m在右手坐标系的坐标值分别为（xi,yi），（xj，yj），（xm，ym），如图2-5所示。(,)iiixy(,)jjjxy(,)mmmxyiuivmujumvjv图2-5jjjuv对于平面问题，三个节点的位移分别为：mmmuviiiuvmvmuivjvjuiu(,)iiixy(,)jjjxy(,)mmmxy单元的节点位移列阵为：iiiejjjmmmuvuvuv(21)所谓单元分析，就是建立节点位移{}（基本未知量）和单元内任意一点的：位移{f}，单元应变{ε}，单元应力{σ}单元节点力{F}e之间的关系，使{f}，{ε}，{σ}，{F}e等都用节点位移{}e来表示。如此，则基本未知量{}e一经求得，其它各量皆可随之而定。1）节点位移{}e和单元内任意一点位移{f}关系首先，我们要确定三角形单元内各点的位移变化规律。即当节点位移确定时，单元内各点的位移应如何插值？设单元内任一点的位移是该点坐标（x,y)的线性函数。对于采用三角形单元的平面问题来说，当单元取得足够小时，取线性位移插值函数是合理的。即：式中是待定常数，它们可以由单元的边界条件，即节点的位移值来确定。为此，只要将节点的坐标值代入式（a)，就得到节点的位移值：a123456uxyvxy126,,,b123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy456456456iiijjjmmmvxyvxyvxyc用克莱姆法则求解线性方程组（b）,（c），得:123121212iijjmmiijjmmiijjmmauauaubububucucucud456121212iijjmmiijjmmiijjmmavavavbvbvbvcvcvcve式中：而:是三角形单元的面积,,,,,,ijmmjijmijmjmiimjmijmimijjimijmijaxyxybyycxxaxyxybyycxxaxyxybyycxx(22)12jmijmijiimmjxyxyxyxyxyxy111211()21()2iijjmmijjiijmxyxyxybcbcaaa(23)将式(d)、(e)代入式(a)，即得单元的位移插值函数：111222111222iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmiijjmmiijjmmuauauaubububuxcucucuyvavavavbvbvbvxcvcvcvy(24)进行整理后得：若令：为单元的形函数。由式(f)可知，单元内任意点的位移与单元的节点位移是通过形函数来联系的，而形函数则是点的坐标的线性函数。111222111222iiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmmuabxcyuabxcyuabxcyuvabxcyvabxcyvabxcyvf121212eiiiiejjjjemmmmNabxcyNabxcyNabxcy(25)引入式(2-5)后，式(f)可以表示为：eeeiijjmmeeeiijjmmuNuNuNuvNvNvNv(26)写成矩阵形式就是：式中为二阶单位矩阵000000iieeejijmeeejijmmmuvuNNNufvNNNvuv222eeeeijmINININ21001I若则单元上的位移插值函数可表示为：{f}=[N]e{}e应当指出，任意两个相邻的三角形单元，如图中的i,j,m及p,j,i,它们在i和j点具有相同的位移。222eeeeijmNINININ我们已假定了位移分量在每一单元中是坐标的线性函数，则在公共边ij上，位移也必然是按同样的线性变化的。因此，在上述两个单元中，公共边ij上各点也都具有相同的位移。这就保证了相邻单元在公共边界上位移的连续性，也即弹性体在受力变形后，各单元的边界线上的材料不致产生空隙或重叠的现象。2)节点位移{}e和单元应变分量{ε}的关系从上一节可知，在取定单元的位移插值函数以后，只要求得各个节点的位移值，则每个单元内各点的位移（因而也是整个弹性体内各点的位移）即可确定。这一节，我们将联系到平面问题的几何方程和物理方程，来进一步确定单元的应变和应力。111222111222iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmiijjmmiijjmmuauauaubububuxcucucuyvavavavbvbvbvxcvcvcvy(24)(2-9a)由(2-4)式，即可得到用节点位移表示单元任一点的应变表达式：1()21()2