2005考研数一真题及解析

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122xxy的斜渐近线方程为_____________.(2)微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为____________.(3)设函数181261),,(222zyxzyxu,单位向量}1,1,1{31n,则)3,2,1(nu=.________.(4)设是由锥面22yxz与半球面222yxRz围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则zdxdyydzdxxdydz____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)Aααα,123123123(,24,39)Bααααααααα,如果1A,那么B.(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从X,,2,1中任取一个数,记为Y,则}2{YP=____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数nnnxxf31lim)(,则()fx在),(内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()Fx是连续函数()fx的一个原函数,NM表示M的充分必要条件是,N则必有(A)()Fx是偶函数()fx是奇函数(B)()Fx是奇函数()fx是偶函数(C)()Fx是周期函数()fx是周期函数(D)()Fx是单调函数()fx是单调函数(9)设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(,其中函数具有二阶导数,具有一阶导数,则必有(A)2222yuxu(B)2222yuxu(C)222yuyxu(D)222xuyxu(10)设有三元方程lne1xzxyzy,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)zzxy(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)xxyz和(,)zzxy(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)yyxz和(,)zzxy(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)xxyz和(,)yyxz(11)设21,是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()Aαα线性无关的充分必要条件是(A)01(B)02(C)01(D)02(12)设A为(2)nn阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵**.,BAB分别为,AB的伴随矩阵,则(A)交换*A的第1列与第2列得*B(B)交换*A的第1行与第2行得*B(C)交换*A的第1列与第2列得*B(D)交换*A的第1行与第2行得*B(13)设二维随机变量(,)XY的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件}0{X与}1{YX相互独立,则(A)0.2,0.3ab(B)0.4,0.1ab(C)0.3,0.2ab(D)0.1,0.4ab(14)设)2(,,,21nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,2S为样本方差,则(A))1,0(~NXn(B)22~()nSn(C))1(~)1(ntSXn(D)2122(1)~(1,1)niinXFnX三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22yxyxyxD,]1[22yx表示不超过221yx的最大整数.计算二重积分Ddxdyyxxy.]1[22(16)(本题满分12分)求幂级数121))12(11()1(nnnxnn的收敛区间与和函数()fx.(17)(本题满分11分)如图,曲线C的方程为()yfx,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l与2l分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()fx具有三阶连续导数,计算定积分302.)()(dxxfxx(18)(本题满分12分)已知函数()fx在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1ff.证明:(1)存在),1,0(使得1)(f.(2)存在两个不同的点)1,0(,,使得.1)()(ff(19)(本题满分12分)设函数)(y具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分24()22Lydxxydyxy的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x内的任意分段光滑简单闭曲线,C有24()202Cydxxydyxy.(2)求函数)(y的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(xxaxxaxaxxxf的秩为2.(1)求a的值；(2)求正交变换xyQ,把),,(321xxxf化成标准形.(3)求方程),,(321xxxf=0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A的第一行是cbacba,,),,,(不全为零,矩阵12324636kB(k为常数),且ABO,求线性方程组0xA的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)XY的概率密度为(,)fxy1001,02xyx其它求:(1)(,)XY的边缘概率密度)(),(yfxfYX.(2)YXZ2的概率密度).(zfZ(23)(本题满分9分)设)2(,,,21nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,记.,,2,1,niXXYii求:(1)iY的方差niDYi,,2,1,.(2)1Y与nY的协方差1Cov(,).nYY2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线122xxy的斜渐近线方程为.4121xy【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=212lim)(lim22xxxxxfxx，41)12(2lim)(limxxaxxfbxx，于是所求斜渐近线方程为.4121xy（2）微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为.91ln31xxxy.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式：])([)()(CdxexQeydxxPdxxP，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为xyxyln2，于是通解为]ln[1]ln[2222CxdxxxCdxexeydxxdxx=2191ln31xCxxx，由91)1(y得C=0，故所求解为.91ln31xxxy（3）设函数181261),,(222zyxzyxu，单位向量}1,1,1{31n，则)3,2,1(nu=33.【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量cos,cos,{cosn}的方向导数为：coscoscoszuyuxunu因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为3xxu，6yyu，9zzu，于是所求方向导数为)3,2,1(nu=.33313131313131（4）设是由锥面22yxz与半球面222yxRz围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则zdxdyydzdxxdydz3)221(2R.【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】zdxdyydzdxxdydzdxdydz3=.)221(2sin33200402RdddR（5）设321,,均为3维列向量，记矩阵),,(321A，)93,42,(321321321B，如果1A，那么B2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有)93,42,(321321321B=941321111),,(321，于是有.221941321111AB（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X,,2,1中任取一个数，记为Y,则}2{YP=4813.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】}2{YP=}12{}1{XYPXP+}22{}2{XYPXP+}32{}3{XYPXP+}42{}4{XYPXP=.4813)4131210(41二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnnxxf31lim)(，则f(x)在),(内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当1x时，11lim)(3nnnxxf；当1x时，111lim)(nnxf；当1x时，.)11(lim)(3133xxxxfnnn即.1,11,1,,1,)(33xxxxxxf可见f(x)仅在x=1时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF当F(x)为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=221x,排除(D);故应选(A).（9）设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A)2222yuxu.（B）2222yuxu.(C)222yuyxu.(D)222xuyxu.[B]【分析】先分别求出22xu、22yu、yxu2，再比较答案即可.【详解】因为)()()()(yxyxyxyxxu，)()()()(yxyxyxyxyu，于是)()()()(22yxyxyxyxxu，)()()()(2yxyxyxyxyxu，)()()()(22yxyxyxyxyu，可见有2222yuxu，应选(B).（10）设有三元方程1ln