二次函数与不等式

1抛物线与不等式一．选择题1．（2014•南宁）如图，已知二次函数y=﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a＞1B．﹣1＜a≤1C．a＞0D．﹣1＜a＜2(1)(2)(3)2．（2014•黄石）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞33．（2014•义乌市）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤3B．x≤﹣1C．x≥1D．x≤﹣1或x≥34．（2013•槐荫区二模）如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线PQ⊥x轴，交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞B．x＜﹣1或＜x＜3C．x＜﹣1或x＞3D．x＜﹣1或1＜x＜3（6）(4)(5)5．（2012•石家庄二模）如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围（）A．﹣1≤x≤9B．﹣1≤x＜9C．﹣1＜x≤9D．x≤﹣1或x≥9二．解答题6．（2013•香洲区二模）先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题例题：解一元二次不等式x2﹣3x+2＞0．解：令y=x2﹣3x+2，画出y=x2﹣3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0．所以一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2．填空：（1）x2﹣3x+2＜0的解集为_________；（2）x2﹣1＞0的解集为_________；用类似的方法解一元二次不等式﹣x2﹣5x+6＞0．27．（2010•淮北模拟）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）8．（2005•滨州）（Ⅰ）请将下表补充完整；判别式△=b2﹣4ac△＞0△=0△＜0二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根有两个不相等的实数根x1=，x2=，（x1＜x2）有两个相等的实数根x1=x2=﹣无实数根使y＞0的x的取值范围x＜x1或x＞x2不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集x≠﹣不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集（Ⅱ）利用你在填上表时获得的结论，解不等式﹣x2﹣2x+3＜0；（Ⅲ）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；（Ⅳ）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）时的解题步骤．9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数且a≠0）满足条件：对任意实数x都有y≥2x；且当0＜x＜2时，总有y≤成立．（1）求a+b+c的值；（2）求a﹣b+c的取值范围．10．已知函数y=x2﹣2x﹣3的图象，根据图象回答下列问题．（1）当x取何值时y=0．3（2）方程x2﹣2x﹣3=0的解是什么？（3）当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？（4）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是什么？11．（2008•株洲）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l2，如图2，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标；（3）设P为y轴上一点，且S△ABC=S△ABP，求点P的坐标；（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．12．把抛物线y=x2向右、向下平移，使它经过点A（1，0）且与x轴的另一个交点B在A的右侧，与y轴交于点C，如图所示．（1）求∠ABC的度数；（2）设D是平移后抛物线的顶点，若BD⊥BC，试确定平移的方法．413．把抛物线y=﹣2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，问所得的抛物线与x轴有没有交点，若有，求出交点坐标；若没有，说明理由．14．（2014•南安市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．515．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4厘米，BC=8厘米，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=12厘米，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合．如果等腰△PQR以2厘米/秒的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米．（1）当t=2时，求S的值；（2）当6≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．16．如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？6抛物线与不等式参考答案与试题解析1B2D3D4D5A二．解答题6．解：（1）解x2﹣3x+2=0得x1=1，x2=2，所以，不等式x2﹣3x+2＜0的解集为1＜x＜2；（2）解x2﹣1=0得，x1=﹣1，x2=1，所以，不等式x2﹣1＞0的解集为x＜﹣1或x＞1；令y=﹣x2﹣5x+6，解﹣x2﹣5x+6=0得，x1=﹣6，x2=1，所以一元二次不等式﹣x2﹣5x+6＞0的解集为﹣6＜x＜1．故答案为：（1）1＜x＜2；（2）x＜﹣1或x＞1．7．解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．8．解：（Ⅰ）判别式△=b2﹣4ac△＞0△=0△＜0二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根使y＞0的x的取值范围x≠﹣全体实数不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集x＜x1或x＞x2全体实数不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集x1＜x＜x2无解无解（Ⅱ）由原不等式，得x2+2x﹣3＞0，∵△=4+12＞0，解方程x2+2x﹣3=0，得不相等的两个实数根分别为x1=﹣3，x2=1，∵a=1＞0，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞1；（若画出函数y=x2+2x﹣3的图象，并标出与x轴的交点坐标而得解集的，同样可以）（Ⅲ）如x2+x+1＞0等，（只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可）；（Ⅳ）（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求方程ax2+bx+c=0的实数根；（4）写出一元二次不等式的解集．9．解：（1）由题意可知对任意实数x都有y≥2x，∴当x=1时，y≥2；且当0＜x＜2时，总有y≤成立，故当x=1，y≤2，∴当x=1时，y=2，故二次函数y=ax2+bx+c经过（1，2）点，∴a+b+c=2；（2）ax2+bx+c≥2x，ax2+（b﹣2）x+c≥0，由（1）知b=2﹣a﹣c，代入得△=（a+c）2﹣4ac≥0，（a﹣c）2≥0，所以c=a，b=2﹣2a．再列得ax2+bx+c≤（x+1）2，把c=a，b=2﹣2a代入可得（a﹣）x2﹣2（a﹣）x+a﹣≤0，（a﹣）（x﹣1）2≤0，因为0＜x＜2，（x﹣1）≥0，故a≤．根据图象法可得此抛物线要永远在y=2x这条一次函数上方满足a＞0．综上所述，a的取值范围是0＜a≤，a﹣b+c=4a﹣2，把a的取值范围代入可得﹣2＜a﹣b+c≤0．10．解：（1）由图象知，函数y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），所以当x=﹣1或3时，y=0；（2）由图象知，x2﹣2x﹣3=0的解为x1=﹣1，x2=3；（3）由图象知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；7（4）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为﹣1＜x＜3．11．解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=﹣1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y=﹣x2+2x﹣3或y=﹣x2+4x﹣5等（满足条件即可）；（2）设l2的解析式为y=﹣x2+bx+c，联立方程组，解得：，则l2的解析式为y=﹣x2+x﹣．点C的坐标为（）．（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=．得：S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=．延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x﹣，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，h），①当点P位于点G的下方时，，连接AP、BP，则S△ABP=S△BPG﹣S△APG=﹣﹣h，又S△ABC=S△ABP=，得，点P的坐标为（0，）．②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）．综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，）（4）作图痕迹如答图2所示．若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置．12．解：（1）设B（a，0），（a＞1），则平移后抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣a）=x2﹣（a+1）x+a，∴抛物线与y轴的交点坐标C（0，a），即OB=OC=a，∠ABC=45°；（2）根据题意，得|AB|=a﹣1，∠ABD=∠CBD﹣∠ABC=45°，∴D点坐标为（1+，﹣），即（，﹣），代入抛物线y=（x﹣1）（x﹣a）中，得（﹣1）（﹣a）=﹣，解得a=3，∴D（2，﹣1），故抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线．813．解：所得的抛物线与x轴有交点∵y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，∴平移后的解析式是：y=﹣2（x+1）2．令y=0，得﹣2（x+1）2=0，x1=x2=﹣1．∴交点坐标为（﹣1，0）．14．解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，∴OP=t，而OC=2，∴P（t，0），设CP的中点为F，则F点的坐标为（，1），∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，）；（2）∵D点坐标为（t+1，），OA=4，∴S△DPA=AP×=（4﹣t）×=（4t﹣t2）=﹣（t﹣2）2+1，∴当t=2时，S最大=1；（3）能构成直角三角形．①当∠PDA=90°时，PC∥AD，由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，即（）2+1+（4﹣t﹣1）2+（）2=（4﹣t）2，解得，t=2或t=﹣6（舍去）．∴t=2秒．②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，可知，△COP∽△PAD，∴=，∴=，PA=1，即t+1=4，t=3秒．综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等