概率论与数理统计天津大学作业答案

概率论与数理统计复习题填空题1.设随机变量X的分布律为1{}(),1,2,3,42kPXkAk，则A=。答案：16152.设总体X服从均匀分布(1,)U,为未知参数。12,,,nXXX为来自总体X的一个简单随机样本，X为样本均值，则的矩估计量为。答案：12X3.设X服从参数为1的指数分布(1)e，Y服从二项分布(10,0.5)B，则()()DYDX。答案：2.54.设A,B,C为三个随机事件，则“A,B,C中只有两个发生”可表示为。答案：ABCABCABC5.某袋中有7个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到红球的概率为。答案：0.76.设A,B,C为三个随机事件，则“A,B,C中只有一个发生”可表示为。答案：ABCABCABC7.某袋中有9个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为。答案：0.25选择题1、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设A，B，C分别表示抽出的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件”的是（C）。（A）ABC（B）ABCABCABCABCABCABCABC（C）ABC（D）ABC2、设总体~(3,16)XN，1216,,,XXX为来自总体X的一个样本，X为样本均值，则(A)(A)3~(0,1)XN(B)4(3)~(0,1)XN(C)3~(0,1)4XN(D)3~(0,1)16XN3、在假设检验中，0H表示原假设，1H表示对立假设，则犯第一类错误的情况为(C)（A）0H真，接受0H（B）0H不真，接受0H（C）0H真，拒绝0H（D）0H不真，拒绝0H4、设1234,,,XXXX是来自均值为的总体的样本，其中未知，则下列估计量中不是的无偏估计的是(B)。（A）1123411()()63TXXXX（B）123422345XXXXT（C）123434XXXXT（D）4123411112488TXXXX5.设X服从参数为的Poisson分布，即~()XP，则()()EXDX（A）。(A)1(B)(C)1(D)06.设随机变量~(2,4),~(0,1),,XNYNXY且相互独立，2ZXY，则~Z（B）。(A)N(6,8)(B)N(2,8)(C)N(0,6)(D)N(0,46)简答题设随机变量Z在5,6上服从均匀分布，0,11,1ZXZ，1,11,1ZYZ，写出(,)XY的联合分布律。解：4{0,1}{1,1}{1}11PXYPZZPZ，{0,1}{1,1}0PXYPZZ，2{1,1}{1,1}{11}11PXYPZZPZ，5{1,1}{1,1}{1}11PXYPZZPZ即为YX-11041101211511设某种元件的寿命X(单位：小时)服从指数分布，其概率密度为13001,0()3000,0xexfxx。（1）求元件寿命超过600小时的概率；（2）若有3个这种元件在独立的工作，求其中至少有2个元件的寿命超过600小时的概率。解：（1）23006001{600}300xPXedxe（2）至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为222223463()(1)()32Ceeeee一盒灯泡共12个，其中10个合格品，2个废品（点时不亮）。现从中任取一个使用，若取出的是废品，则废品不再放回，再取一个，直到取得合格品为止。求在取得合格品以前已取出的废品数X的分布律、数学期望和方差。解：X的所有可能取值为0，1，2.故X的分布律为10{0}12PX，2105{1}121133PX，21101{2}12111066PX，即X012kp56533166所以22765,,1133363EXEXDX设随机变量X与Y相互独立,下表给出了二维随机变量(,)XY的联合分布律及X和Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表的空白处。（注意：必须有简单的计算依据，无依据扣分）YX1y2y3y{}iiPXxp1x2x12413.{}jjPYyp121答案：因为X与Y独立，所以..,1,2,1,2,3ijijpppij。又,1ijijp，故得如下表格。YX1y2y3y{}iiPXxp1x1411213232x181241613.{}jjPYyp3818121设总体X具有密度函数(1),01(;)0,xxfx其它，其中是未知参数，1(,,)nXX是来自总体X的样本。求：（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量。解：（1）101()(1)d2EXxxx令12X,解得21ˆ.1XX（2）11()(,)(1)(,,),nniniLfxxx1ln()ln(1)lnniiLnx1dln()ln0d1niiLnx令，解得11.lnniinx所以1ˆ1.lnniinX设1234,,,XXXX是来自总体X～N(0,6)一个简单随机样本，若221234(+2)(2)YaXXbXX服从2()n分布，求,,abn。（要有求解过程）。解：121222(0,30),(0,1)30XXXXNN343422(0,30),(0,1)30XXXXNN且12342,2XXXX相互独立，222341222()()(2)3030XXXX12,30nab甲厂和乙厂生产同样的产品，生产后集中到一起。已知甲厂生产的产品占60%，乙厂生产的产品占40%。两厂生产产品的次品率分别为1%和2%。现从这些产品中任取一件，求取到的恰好是次品的概率。解：设A：任取一件恰好是次品B：甲厂生产,则()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB=60%*1%+40%*2%=0.014设随机变量X的概率密度函数为2,02()0,Axxfx其它求：（1）A的值；（2）X的分布函数)(xF；（3）()DX。解：解：（1）220()1fxdxAxdx令，得38A（2）30,01()(),0281,2xxFxfxdxxxx（3）22033()()82EXxfxdxxxdx222220312()()85EXxfxdxxxdx223()()[()]20DXEXEX设总体X服从参数为的指数分布,即,0()0,0xexfxx，其中0为未知参数，12,,,nXXX为来自总体X的一个简单随机样本，求的最大似然估计ˆ。解：1()1()(,)niinxniiLfxe1ln()ln().niiLnx令1ln()()0.niidLnxd解得1.niinx故的最大似然估计量为11ˆ.niinXX袋中有5个球，其中有3个红球、2个白球，从中任取两球，求取出的两球颜色相同的概率。解：113225215CCC箱子中有10只开关，其中2只是次品，8只是正品。在其中不放回地取两次，每次取一只。令0,1,X若第一次取的是正品若第一次取的是次品，0,1,Y若第二次取的是正品若第二次取的是次品求),(YX的联合分布律。解：8728{0,0}10945PXY，828{0,1}10945PXY，288{1,0}10945PXY，211{1,1}10945PXY设X的概率密度函数为2200,200()0,200xfxxx，求X的分布函数()Fx。解：()()dxFxftt22000,200,200200d1,200,xxtxtx设总体X的分布律为X-101Xp22(1)2(1)其中01为未知参数，现有8个样本观测值1,1,1，0，1，1，1，0，（1）求的矩估计1ˆ；（2）求的极大似然估计2ˆ。解：（1）22(1)12EX,14xEXx令，得15ˆ8（2）8242221061()()[][2(1)][(1)]4(1)iiLPXxln()ln410ln6ln(1)L，令ln()1110601dLd，得25ˆ8设总体X的概率密度函数为1,01()0,xxfx其他，其中0为未知参数，),,,(21nXXX为来自这个总体的样本。求：（1）的矩估计；（2）的最大似然估计量。解：（1）210ˆd11XEXxxXX令（2）112121()(),nniniLxxxx1ln()ln(1)ln2niinLx1dln()1ln0d22niiLnx解出21lnniinx所以的极大似然估计为21ˆ.lnniinX设有甲乙两个袋子，甲袋中有3个红球、4个白球；乙袋中有2个红球、5个白球。现在从甲袋中任取两个球放入乙袋中，再从乙袋中任取一个球。（1）求从乙袋中取出的这个球为红球的概率；（2）若已知从乙袋中取出的这个球为红球，求从甲袋中取出的这两个球都为红球的概率。解：（1）A:从乙袋中任取一个为红球kB:从甲袋中恰取出k个红球，k=0,1,220()()(|)kkkPAPBPAB112234342227772342243342099979797963CCCCCCC（2）232722249(|)()1(|)20()563CCPABPBPBAPA对同一靶子进行两次独立地射击，每次击中的概率为0.9。设X表示两次射击中击中靶子的次数。求X的分布函数()Fx。解：0022(0)*(0.9)*(0.1)0.01PXC1112(1)*(0.9)*(0.1)0.18PXC2202(2)*(0.9)*(0.1)0.81PXCX的分布律为：X012Xp0.010.180.81X的分布函数为：0,00.01,01()0.19,121,2xxFxxx。在正态总体~(30,4)XN中随机抽取一个容量为16的样本，X为样本均值。求{|30|1}PX。（(0.5)0.6915,(2)0.9770）解：1~(30,)4XN，{|30|1}{2931}(2)(2)2(2)120.97700.954PXPX对同一靶子进行两次独立地射击，每次击中的概率为0.8。设X表示两次射击中击中靶子的次数。求X的分布函数()Fx。解：0022(0)*(0.8)*(0.2)0.04PXC1112(1)*(0.8)*(0.2)0.32PXC2202(2)*(0.8)*(0.2)0.64PXCX的分布律为：X012Xp0.040.320.64X的分布函数为：0,00.04,01()0.36,121,2xxFxxx。设),(YX的联合概率密度函数为2321,01(,)0,xyxyfxy其它。某商店销售一批电视机共9台，其中有2台次品，7台正品。目前已售出2台（不挑选），今从剩下7台中任搬一台，求此台为正品的概率。解：A:任搬一台为正品,kB:卖出k件正品，k=0,1,2，则20()()(|)kkkPAPBPAB1122277222299976577779CCCCCCC设),(YX的联合概率密度为1,02