24.1.2垂直于弦的直径ppt--2011.10

.问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE⌒理由：当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC和BC重合,AD和BD重合.⌒⌒⌒弧：AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒·ABCDOEAE=BE，AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒求证：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。已知：连接OA,OB,则OA=OB.又∵OE⊥ＡＢ，∴AE=BE.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.证明:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。⌒⌒⌒⌒C.OAEBD叠合法证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。二、垂径定理·ABCDOE①直线CD过圆心O②CD⊥AB几何语言：③AE=BE④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒垂径定理定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。课堂讨论根据已知条件进行推导：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。①②③④⑤三个命题命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。.OAEBDC已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB。求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD（AC＝BC）。求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD⊥AB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。注意要点①经过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧想一想：下列图形是否可以使用垂径定理？为什么？DOABEODCBAODCABOBAODCBAODCBA赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？半径的问题解决求赵州桥拱OABDCr活动三1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm.活动三练一练在Rt△AEO中(1)如图,已知⊙O的半径为6cm,弦AB与半径OA的夹角为30°,求弦AB的长.OAOCABM(2)如图,已知⊙O的半径为6cm,弦AB与半径OC互相平分,交点为M,求弦AB的长.630°EB判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦()②平分弦的直线必垂直弦()③垂直于弦的直径平分这条弦()④平分弦的直径垂直于这条弦()⑤弦的垂直平分线是圆的直径()⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦()⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧()船能过拱桥吗?例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH∴此货船能顺利通过这座拱桥.1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=BAMCON5㎝1㎝或9㎝56413Cm例2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.挑战自我•如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?•老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧圆的两条平行弦所夹的弧相等.说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？课堂小结感悟收获1.垂径定理及其应用2.将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题，3.圆中经常作的辅助线——半径、作弦的垂线谢谢大家谢谢大家