使用GMM方法分析动态面板数据

对外经济贸易大学金融学院张海洋1GMM方法与动态面板数据——一个简介2015年8月在阅读文献中经常看到有使用GMM方法分析动态面板数据，但没有深入研究。最近开始自己用此方法时，感觉很困惑，因为使用此方法的文献中，对方法的原理大多语焉不详。对该方法的适用性，为什么用此方法，以及方法优缺点介绍聊聊几句。因此，通过读文献很难对该方法有全面的把握。由于时常有学生过来问我怎么用GMM方法处理动态面板数据，不能总是含糊地回答，同时自己也在写这方面的文章，因此找来几本参考书，搜集了大量的文献，详细阅读之后，撰写本文。文中主要内容摘要并整理自Roodman（2009），这是STATA命令xtabond2命令的作者所写的介绍性文章，应该有权威性，如果该文不准确，那么所有使用此命令做的研究将全部失效。同时参考了CameronandTrivedi（2009）和（AngristandPischke，2009）等书籍。本文仅为作者对该方法的理解，如有不妥、疑问或建议请联系：[e-mail]。（一）为什么要用GMM方法本文所谓动态面板数据(DynamicPaneldata,DPD)分析，指的是分析中采用如下的回归方程：,,1itititiitYYXu（1）1,...,iN，1,...,tT其中，,1itY是因变量的滞后项，iu是个体i的固定效应。因变量的滞后项和固定效应同时存在，是动态面板数据分析特殊性的关键。如果固定效应不存在，那么回归方程变为:,,1ititititYYX（2）这时，用OLS或者随机效应模型回归分析即可。如果因变量的滞后项,1itY不存在，那么回归方程变为：,ititiitYXu（3）对外经济贸易大学金融学院张海洋2对于该模型，用固定效应模型分析即可。如果因变量的滞后项和固定效应都存在，那么对于（1）式这样的回归方程，如果采用差分方法去掉固定效应，会得到如下的结果,,1ititititYYX（4）其中,,,-1=-itititYYY，,-1,-1,-2=-itititYYY，,,,-1=-itititXXX，,,,-1=-ititit。如果（1）式代表了真实的变量之间关系，那么,1itY和it之间必有相关性，因为：,-1,-1,-2,2,1,1=-=(1)ititititititYYYYX，,-1,cov(,)ititY显然不会等于0，因为两者都有,1it这一项。通常所用的固定效应模型实际上就是对（1）式差分，得到类似于（4）式的差分回归方程，然后做OLS。对于现在的情况，由于,1itY和it之间的相关性，再用OLS只会得到有偏误的回归系数。所以传统的统计方法无法实现对此类方程的估计，需要用GMM方法。需要注意的是（2）的模型（包含滞后项的OLS）和（3）的模型（不包含滞后项的FE，固定效应）尽管都有偏误,但好处是一个偏大,一个偏小(具体哪个大,哪个小要看变量之间的关系),所以这两个估计系数应该界定了真实参数的范围（AngristandPischke，2009:246页；Roodman，2009）。也就是说，你最后用GMM方法估计出来的参数应该落到这个区间。（二）什么是GMM方法通常所用的OLS等方法，基本逻辑是从计量模型对数据拟合的角度分析，得出最好的估计参数。GMM方法，又称为广义矩方法（GeneralizedMomentMethod），该方法所用的思路与传统思路完全不同。任何计量模型都有一定的适用性，即数据要满足一定的要求。GMM方法的思路是，从计量模型对数据的要求出发，得出一系列矩条件，再根据这些矩条件，求解满足条件的系数。对于大多数计量模型，GMM方法和传统的方法“殊途同归”，得出的回归系数相差不会太远。1、线性回归中的GMM方法以OLS为例，对于回归方程：对外经济贸易大学金融学院张海洋3YXβε传统OLS模型中，β的估计量1OLSˆ=(')(')βXXXY。注意到，如果使用OLS模型，数据有要求，就是自变量X和误差项ε要独立，也就是说：(')0EXε这个就是所谓的“矩条件”。把εYβX带入，得到('())0EXYXβ，即：(')(')EEXYXXβ1[(')](')EEβXXXY为了得到β的估计量，可以把(')EXX和(')EXY的估计量分别带入，即1ˆ(')'ENXXXX，1ˆ(')'ENXYXY得到1GMMˆ(')'βXXXY，这是和传统的OLS一样的估计量。2、工具变量的GMM方法工具变量方法也可以用矩估计的思路实现。由于过程略复杂，此处仅给出简要步骤，详细的推导可以参考（Roodman，2009）。需要回归的方程为：YXβε其中，Z是工具变量，(|)0EεZ。()12kXx,x...x，是k个自变量向量，()12jZz,z...z是j个工具变量向量。相应的，待估计的系数β是k维向量。定义EYXβ为误差向量，对于任意估计出来的参数ˆβ，残差项为ˆˆEYXβ。根据工具变量的含义，它应该和误差项ε独立：(')0EZε，这就是我们需要的矩条件。计算的时候，理论上应该利用1ˆ(')0NENZεZ'E求解，注意到，我们有j个工具对外经济贸易大学金融学院张海洋4变量，也就是j个矩条件（j个方程）。理论上，需要根据这j个方程求解k个待估计的参数。但是不幸的是，如果工具变量的数量j小于待估计的参数数量k，方程是不可识别的——通常不可能通过2个方程解出3个未知数。如果工具变量等于待估计的参数，是恰好可识别的，但这种情况在GMM中很难碰到。最常见的是工具变量多于待估计的参数，即jk，这意味着要找k个参数，让j个方程同时等于零。这难度相当大，实际上大多数时候找不到，怎么办呢？在矩估计里面，采用的办法是，找k个参数，让1ˆ(')NENZεZ'E和零之间的距离最小。实际计算的时候，需要借助一个半正定的矩阵A，计算向量(')NEZε的模：1111ˆˆˆˆˆ(')()'()NENNNNNAAZεZ'EZ'EAZ'EE'ZAZ'E目标变成，寻找参数向量ˆ=argmin(')NEAAβZε，这就要用到一阶条件等于零：(')ˆNdEdAZε=…=2ˆ0NE'ZAZ'(-X)计算的过程利用到了连锁规则和向量求导的公式。继续推导，把ˆˆEYXβ带入，得到：ˆˆˆ0()'E'ZAZ'XYXβ'ZAZ'XY'ZAZ'Xβ'XZAZX1ˆ=(')AβXZAZXX'ZAZ'Y这就是β的GMM估计量，这个估计量是有偏的，它的期望值不等于真实的β；然而它是一致的，当样本量足够大的时候，它会接近真实的β。这个估计量和A有关，但是A只影响参数估计的有效性——不同的A对应的参数ˆAβ收敛的速度不同。这里的A其实是对不同的矩条件加以不同的权重，可以找到一个收敛最快的A，称为EGMMA，可以证明：1()EGMMVarAzε。对外经济贸易大学金融学院张海洋5对于工具变量法常用的两阶段最小二乘法（2SLS），如果假定误差项是独立同分布，那么11()=()EGMMVarAzεZ'Z，此时111ˆ=('())()GMMβXZZ'ZZXX'ZZ'ZZ'Y这实际上就是传统通过两阶段最小二乘法（2SLS）估计出来的参数，殊途同归。3、GMM方法的有效性（Hansen检验和Sargan检验）前文已经介绍，使用GMM方法的目标是选择参数，最小化1ˆ(')NENZεZ'E和零之间的距离(')NEAZε。那么问题来了，多小算小呢？会不会是最小值也显著大于零？如果这样的话，方法的适用性就成问题。也就是说，根据你估计出来的参数，算出的残差项实际上和工具变量不是独立。Hansen检验和Sargan检验的逻辑就是，以(')NEAZε最小化为目标，估计出参数，然后把参数带入，看看它是否真的等于零。如果统计上不能拒绝它等于零，则所用工具变量可靠；如果统计上拒绝它等于零，则不可靠。如果零假设成立（即0H：工具变量是联合有效的），那么1ˆ(')NENZεZ'E应随机分布于零附近，它和零的距离应服从2分布：EGMMEGMM2EGMM11ˆˆˆ(')NjkENNAAZεZ'EE'ZAZ'E这就是Hansen统计量，它服从自由度为jk的2分布，这里自由度其实就是过度识别的维度。在实际使用中，不应该显著（p值小于0.1）；如果显著，则表明拒绝了零假设，工具变量不是联合有效的。然而，需要注意的是，如果使用的工具变量太多，那么Hansen统计量会非常不显著，常常等于1。这是因为，jk越大，意味着2分布显著的门槛越高（请查阅2分布的表格）。也就是说，工具变量太多，会让Hansen检验的效果变弱，这是需要注意的。通常Hansen检验的p值大于0.25就要小心了，这时需要考虑减少工具变量的数量。Sargan检验的统计量类似，只不过把Hansen统计量中的EGMMA替换成了-1(Z'Z)，即对外经济贸易大学金融学院张海洋6112(')1ˆˆ(')()NjkzzSENZεE'ZZ'ZZ'E然而，该统计量有时候是不一致的，如果在命令中要求报告稳健的Sargan统计量，软件会做两阶段GMM估计（先找任意合理的H，令1=()AZ'HZ，估计出第一步参数1ˆβ；再根据1ˆβ，计算出残差项的方差-协方差矩阵1ˆˆβ，令11ˆˆ=()βAZ'Z，估计出第二部参数2ˆβ），根据第二步的参数结果，默默报告出Hansen统计量。整体上说，Hansen统计量好像更靠谱一点，所以报告的时候，更多关注Hansen统计量。（三）动态面板数据现在回到我们的动态面板数据，对数据和模型有如下假定：1)动态。模型中包含了因变量的滞后项；2)有个体的固定效应；3)可以有一些自变量是内生的；4)除了固定效应之外的误差项it可以异方差，可以序列相关；5)不同个体之间的误差项it和jt不会相关。6)可以有前定的（Predetermined）但不是完全外生的变量。7)“大N，小T”，即个体数量要足够多，但时间不用太长。如果时间足够长的话，动态面板误差不会太大，用固定效应即可。从上述要求可以看出，GMM方法特别适合宏观的面板数据分析，因为宏观变量中，很难找出绝对外生的变量，变量之间多少会互相影响。而GMM方法可以“有一些自变量是内生的”，这可能也是GMM方法在文献中这么常用的原因。此前已经说过，不能用传统的OLS方法或者固定效应模型进行动态面板数据的分析，那样会得到有偏的估计量。先要对数据进行一定的变换，然后根据不同的矩条件设定开展矩估计。其中数据变换有两种方法，矩条件的设定也有两种方法。对外经济贸易大学金融学院张海洋71、数据的变换方法：一阶差分还是垂直离差为了消除动态面板数据中的固定效应，通常用的有两种方法：一阶差分(firstdifference)和垂直离差(orthogonaldeviations)。一阶差分之前已经介绍过了，这种方法是differenceGMM中默认的方法。缺点是如果数据中有缺失值，那么最终的估计会缺失很多样本，原始数据缺一行往往会导致差分后的数据缺两行。一种替代的方案是用垂直离差（xtabond2命令中用orthogonal选项实现），每个变量减去该变量未来所有观测值的平均值，即：,1,1()itititisstitwcwwT式子中，/(1)itititcTT为调整权重变量，itT是从t期开始以后观测值的数量。对于非平衡面板，和数据有缺失的面板，这种方法避免了因缺失数据带来的样本损失，因为调整的时候只是把未来的平均值减去，样本数不会因缺失未来个别观测值而受损。然而，对于平衡面板数据，一阶差分和垂直离差估计出来的结果会完全一样。2、DifferentGMM还是SystemGMM令数据变换之后的回归方程变为,,1***ititititYYX（5）这种变换可以是一阶差分，也可以是垂直离差。DifferentGMM的