报童模型

报童的诀窍问题描述：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设abc。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。而市场对报纸的需求量是一个随机变量。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机变量。假定报童已经通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的统计规律性，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为份的概率是rrf,2,1,0r有了和rfcba,,。就可以建立关于购进量的优化模型。模型建立：假设每天购进量是n份，需求量r是随机变量，可以大于n，可以等于n，也可以小于n。所以报童每天的收入也是随机变量。那么，作为优化模型的目标函数不能取每天的收入，而应该取长期卖报的日平均收入，即报童每天收入的期望值。()()()()abrbcnrrnYabnrnr记报童每天购进n份报纸的平均收入为，如果这天的需nG求量，则售出份，退回份，此时报童的收入nrrrn如果需求量nr为；abrbcnrabn则n份将全部售出，没有退回。此时报童的收入为故利润随机变量根据已知需求量r的分布规律f(r)，得平均收入为01()nrrnGnEYabrbcnrfrabnfr问题归结为在f(r),a,b,c已知时，求n使G(n)最大。模型求解：通常需求量r和购进量n都相当大，故可以将r视为连续型随机变量，以便于分析和计算，此时需求量r的分布规律f(r)转化为概率密度p(r)来处理,则G(n)变为nndrrnpbadrrprncbrbanG0接下来只需要对G(n)关于n求导后找G(n)的最大点ndrrpcbnnpbadndG0计算0nnnabnpnabprdrbcprdrabprdr令0dndG，得到cbbadrrpdrrpnn0使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足上式。因为0nabprdrac01prdr，所以根据需求量的概率密度rp的图形可以确定购进量n在图中用21,PP分别表示曲线rp下的两块面积，则cbbaPP21rpOnr1P2P120,.nnPprdrPprdr其中因为当购进n份报纸时，超过n10nPprdr是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率；2nPprdr是需求量r的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份ba赚的钱与退回一份赔的钱cb之比。结论：当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时,报童购进的份数就应该越多。且现实生活中，订购服装销售问题可以类似解决。但如果遇到打折销售时，要作一定的改变。如：某衣服零售商每个季度从批发商处购进一批衣服销售，设每件衣服购进价b元，零售价a元，每个季末，如有未售完衣服，零售商将以c元打折销售，而折价销售后还有剩余的衣服，将由批发商以d元价格回收，试确定零售商的订货量使获利最大。分析：若订购量n件，则当1、销售量时，正规售出X份，余下n-X份，①打折售出量时，售出Y份，退回n-X-Y份；②打折售出量时，售出n-X份，没有退回。2、销售量时，正规售出n份，没有剩余衣服。XnYnXYnXXn则利润随机变量为()()()()aXcYbXYbdnXYXnXYnZaXcnXbnXnXYnanbnnX且且现在只需要弄清楚销售量X（随机变量）和打折销售量Y（随机变量）的联合概率密度就可以进行处理。以上是采用连续型随机变量方式进行处理的，但有时在离散随机变量下该如何处理呢？此时要用边际分析法处理。某商家经营某种商品，零售价a元，购进价b元，退回价c元，而一个经营周期的销售量r是一个离散型随机变量，其分布列为，试确定商家的最佳订货量。()kPrkp分析与求解：设每次订购n件，其获得利润的期望为E(n)，若他多订购一件商品，则这件商品能卖出去的概率为，卖不出去的概率为，而商家每天获利的利润函数为(1)Prn()Prn()0(,)()()(01)abnnrfrnabrbrncnr所以10()(,)()()()()nkkkknEnEfrnabkbcnkpabnp（）=设进货量为n时，期望收益E(n)最大，则应有不等式E(n)≥E(n+1)且E(n)≥E(n－1)而01(1)()()(1)()(1)nkkkknEnabkbcnkpabnp=201(1)()()(1)()(1)nkkkknEnabkbcnkpabnp=011110(),1(1),1nnknkkknnnknkkknqPrnpqpqPrnpqp若记则；而所以()(1)()()(1)0nnEnEnbcqabq11()(1)()(1)()0nnEnEnabqbcq10()(1)()()0nkkknkEnEnabpbcp所以01()(1)()()0nkkkknEnEnbcpabp练习：1、若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？结论：1nnabqqac上式就是最佳进货量n应该满足的不等式2、若报童每天售出一份报纸获利0.3元，但如果卖不出去退回邮局每份报纸损失0.1元，假设该地区范围报纸每天需求量为1,2,3,…,100份的概率都为0.01，则报童每天购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？0()()(1)()nknnkMaxEnackpnabqbcq=()此时期望收益的最大值为：需求（箱）1234567概率0.100.150.250.250.150.070.033、某水果店以每千克1.6元的价格购进每筐重100千克的香蕉，当天以每千克2.4元的价格出售，当天销售余下的香蕉再以平均每千克1.2元的处理价出售，以筐为单位的需求情况由下表列出：试问水果店每天进多少筐香蕉，可获利最大？4、设顾客对某种食品每天需求量服从均值为5的泊松分布，而商店每售出一件食品获利4元，若当天卖不掉则亏损2.5元。问商店每天应进货多少？