专题3.4-导数在不等式中的应用---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第三篇导数及其应用专题3.04导数在不等式中的应用【考点聚焦突破】考点一构造函数证明不等式【例1】已知函数f(x)＝1－x－1ex，g(x)＝x－lnx.(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－lnx)f(x)1－1e2.【规律方法】1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x1，x2∈[a，b]，且x1x2，有f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).2.证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)0.先通过化简、变形，再移项构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决.【训练1】已知函数f(x)＝ax＋bx2＋1在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.2(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)＝lnx，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立.考点二利用“若f(x)ming(x)max，则f(x)g(x)”证明不等式【例2】已知函数f(x)＝xlnx－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋11ex＋1－2e2x成立.【规律方法】31.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题.2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)ming(x)max恒成立.从而f(x)g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.【训练2】已知三次函数f(x)的导函数f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xlnx＋ax(a≥1).(1)求f(x)的极值；(2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).考点三不等式恒成立或有解问题角度1不等式恒成立求参数【例3－1】已知函数f(x)＝sinxx(x≠0).(1)判断函数f(x)在区间0，π2上的单调性；(2)若f(x)a在区间0，π2上恒成立，求实数a的最小值.【规律方法】1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，4从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围.【训练3】(2019·潍坊模拟)已知函数f(x)＝1＋lnxx.(1)若函数f(x)在区间a，a＋12上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥kx＋1恒成立，求实数k的取值范围.角度2不等式能成立求参数的取值范围5【例3－2】已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx(a∈R).(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)函数g(x)＝(1－a)x，若∃x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.【规律方法】1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.2.含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.【训练4】已知函数f(x)＝mx－1x－2lnx(m∈R)，g(x)＝－mx，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)g(x0)成立，求实数m的取值范围.【反思与感悟】61.证明不等式的关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题.2.恒(能)成立问题的转化策略.若f(x)在区间D上有最值，则(1)恒成立：∀x∈D，f(x)0⇔f(x)min0；∀x∈D，f(x)0⇔f(x)max0.(2)能成立：∃x∈D，f(x)0⇔f(x)max0；∃x∈D，f(x)0⇔f(x)min0.【易错防范】1.证明不等式，特别是含两个变量的不等式时，要注意合理的构造函数.2.恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同.【核心素养提升】【逻辑推理】——两个经典不等式的活用逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程.(1)对数形式：x≥1＋lnx(x0)，当且仅当x＝1时，等号成立.(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：exx＋1x1＋lnx(x0，且x≠1).【例1】(1)已知函数f(x)＝1ln（x＋1）－x，则y＝f(x)的图象大致为()7(2)已知函数f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝12x2＋x＋1有唯一公共点.【例2】(2017·全国Ⅲ卷改编)已知函数f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n，1＋121＋122…1＋12ne.【例3】设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，1x－1lnxx.8【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019·海南一模)函数f(x)＝lnx＋a的导数为f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为()A.(1，＋∞)B.(0，1)C.(1，2)D.(1，3)2.(2019·济南调研)已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1x2)，则()A.f(x1)0，f(x2)－12B.f(x1)0，f(x2)－12C.f(x1)0，f(x2)－12D.f(x1)0，f(x2)－123.若对任意a，b满足0abt，都有blnaalnb，则t的最大值为________.94.函数f(x)＝x－2sinx，对任意的x1，x2∈[0，π]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤M，则M的最小值为________.三、解答题5.已知f(x)＝(1－x)ex－1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)＝f（x）x，x－1且x≠0，证明：g(x)1.6.已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围.10【能力提升题组】(建议用时：25分钟)7.(2019·北京延庆区调研)已知函数f(x)＝xlnx(x0).(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值.8.已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)当a＝0时，求证：f(x)≥0；(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若x0，证明(ex－1)ln(x＋1)x2.