专题1.5-从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理

1第一篇集合与不等式专题1.05从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式【考试要求】1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．【知识梳理】1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解集不等式解集aba＝bab(x－a)·(x－b)0{x|xa或xb}{x|x≠a}{x|xb或xa}(x－a)·(x－b)0{x|axb}∅{x|bxa}24.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)0(0)⇔f(x)·g(x)0(0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.【微点提醒】1.绝对值不等式|x|a(a0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|a(a0)的解集为(－a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax2＋bx＋c0(0)时不要忘记当a＝0时的情形.3.不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0或a0，Δ0.(2)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0或a0，Δ0.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(3)不等式x2≤a的解集为[－a，a].()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a0)的解集为R.()【教材衍化】2.(必修5P103A2改编)已知集合A＝x12x－1≤0，B＝{x|x2－x－60}，则A∩B＝()A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]33.(必修5P80A2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________.【真题体验】4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x≥0的解集为()A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax2＋bx＋10的解集为{x|－1x2}，则ab的值为()A.1B.－14C.4D.－126.(2018·汉中调研)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是______.【考点聚焦】考点一一元二次不等式的解法角度1不含参数的不等式【例1－1】求不等式－2x2＋x＋30的解集.4角度2含参数的不等式命题点1通过判别式分类讨论【例1－2】解关于x的不等式kx2－2x＋k0(k∈R).命题点2通过根的大小分类讨论【例1－3】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【规律方法】1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.5【训练1】(2018·豫北豫南名校联考)不等式x2－3|x|＋20的解集是________.考点二一元二次方程与一元二次不等式【例2】已知不等式ax2－bx－10的解集是{x|－12x－13}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________.【规律方法】1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】(2019·天津和平区一模)关于x的不等式ax－b0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考点三一元二次不等式恒成立问题6角度1在实数R上恒成立【例3－1】(2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2，2)D.(－2，2]角度2在给定区间上恒成立【例3－2】(一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.角度3给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为()A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)【规律方法】1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全7部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】(2019·安庆模拟)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈0，12恒成立，则a的最小值是()A.0B.－2C.－52D.－3考点四一元二次不等式的应用【例4】甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润1005x＋1－3x元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【规律方法】求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.8(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】已知产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台【反思与感悟】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.2.在解决不等式ax2＋bx＋c0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【易错防范】1.当Δ0时，ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·合肥调研)已知集合A＝{y|y＝ex，x∈R}，B＝{x∈R|x2－x－6≤0}，则A∩B等于()A.(0，2)B.(0，3]9C.[－2，3]D.[2，3]2.不等式x＋5（x－1）2≥2的解集是()A.－3，12B.－12，3C.12，1∪(1，3]D.－12，1∪(1，3]3.不等式|x|(1－2x)0的解集为()A.(－∞，0)∪0，12B.－∞，12C.12，＋∞D.0，124.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1，1]时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定5.(2019·淄博月考)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1的解集是()A.(－∞，－1)∪(0，＋∞)B.(－∞，0)∪(1，＋∞)C.(－1，0)D.(0，1)10二、填空题6.不等式2x2－x4的解集为________.7.已知不等式mx2＋nx－1m0的解集为{x|x－12或x2}，则m－n＝________.8.(2019·河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________.三、解答题9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.1110.解下列不等式：(1)0x2－x－2≤4；(2)12x2－axa2(a∈R).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f(x)＝x，x≤0，ln（x＋1），x0，若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)12.(2019·保定一中调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)13.设a0，若不等式－cos2x＋(a－1)cosx＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________.1214.(2019·济南一中质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex.若对任意x∈[a，a＋1]，恒有f(x＋a)≥f(2x)成立，求实数a的取值范围.【新高考创新预测】15.(试题创新)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则()A.a＋b－c的最小值为2B.a－b＋c的最小值为－