专题3.5-导数与函数的零点---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第三篇导数及其应用专题3.05导数与函数的零点【考点聚焦突破】考点一判断零点的个数【例1】(2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)x－4lnx的零点个数．【规律方法】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值2(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．【训练1】已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【规律方法】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特3殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．【训练2】已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．考点三函数零点的综合问题【例3】设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)≥2a＋aln2a.【规律方法】1.在(1)中，当a0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而f′(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到b，使f′(b)0.42．由(1)知，函数f′(x)存在唯一零点x0，则f(x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明f(x0)≥2a＋aln2a.【训练3】(2019·天津和平区调研)已知函数f(x)＝lnx－x－m(m－2，m为常数)．(1)求函数f(x)在1e，e的最小值；(2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，且x1x2，证明：x1·x21.【反思与感悟】1．解决函数y＝f(x)的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势，观察图象与x轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等．2．通过等价变形，可将“函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点”与“方程f(x)＝g(x)的解”问题相互转化．【易错防范】函数y＝f(x)在某一区间(a，b)上存在零点，必要时要由函数零点存在定理作为保证.5【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)一、选择题1.已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.当1a2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题2.直线x＝t分别与函数f(x)＝ex＋1的图象及g(x)＝2x－1的图象相交于点A和点B，则|AB|的最小值为________.3.若函数f(x)＝ax－aex＋1(a0)没有零点，则实数a的取值范围为________.6三、解答题4.(2019·保定调研)已知函数f(x)＝a6x3－a4x2－ax－2的图象过点A4，103.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围.5.设函数f(x)＝lnx＋mx(m0)，讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数.【能力提升题组】(建议用时：25分钟)6.(2018·江苏卷改编)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，求f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和.77.已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递增区间；(2)当0－1ae时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为－3，求a的值；(3)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝lnxx＋12是否有实数根.