22.3实际问题与二次函数(1)(公开课)分析

22.3实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数(1)R·九年级上册新课导入问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？推进新课问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？分析：①由a=-5可得，图象的开口向下；②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图；③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度.h＝30t-5t2(0≤t≤6)30322(5)bta当时，2243045.44(5)acbha有最大值即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m.一般地，当a0(a0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=时，二次函数有最小（大）值。2ba244acba用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？lS①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是m，场地面积S=m2.②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组：.解不等式组得l的范围是.lS总长为60m分析：(30-l)0300ll，l(30-l)0l30何时取最大值呢？S=l(30-l)lS总长为60m③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口，对称轴是，顶点坐标是，与横轴的交点坐标是，与纵轴的交点坐标是.向下直线l=15(15,225)(0，0)，(30，0)(0，0)④根据l的取值范围及③画出函数图象的草图。50100S150200250O-5050l由图象知：点是图象的最高点，即当l=时，S有(选填“大”或“小”)值.(15,225)15最大用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？50100S150200250O-5050llS解：60m,m,60-m.2ll矩形场地的周长是一边长为所以另一边长为（）场地的面积S=l(30-l)即S=-l2+30l(0l30)30-1522(1)bla因此，当时，22430225.44(1)acbSa有最大值即当l是15m时，场地的面积S最大。利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.随堂演练基础巩固1.如图,四边形的两条对角线AC、BD互相垂直,AC+BD=10,当AC、BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大？解：设AC＝x,四边形ABCD面积为y,则BD＝(10-x).即当AC、BD的长均为5时,四边形ABCD的面积最大.21125(10)(5).222yxxx255,.2xy当＝时有最大值2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示),墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解：设矩形的长为xm,面积为ym2,则矩形的宽为m.018,1502xx又＞∴0x≤18.21522515mm,,m.22即当矩形的长为、宽各为时菜园的面积最大为22515,.2xy当时有最大值221(15)15.2xyxxx＝15-2x综合应用3.如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？解：令AB长为1,设DH＝x,正方形EFGH的面积为y,则DG＝1-x.即当E位于AB中点时,正方形EFGH面积最小.2211114(1)2()(01)222yxxxx11,.22xy当时有最小值拓展延伸4.已知矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,矩形的长、宽各为多少时,圆柱的侧面积最大？解：设矩形的长为xcm,圆柱的侧面积为ycm2,则矩形的宽为(18-x)cm,绕矩形的长或宽旋转,圆柱的侧面积相等.有y=2πx(18-x)＝-2π(x-9)2+162π(0＜x＜18).当x=9时,y有最大值为162π.即当矩形的长、宽各为9cm时,圆柱的侧面积最大。课堂小结2.图形由面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.1.（1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解；（2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。教学反思本课时重点在于利用二次函数解决图形的最大面积问题，教学过程中注重引导学生通过分析实际问题构造数学几何模型.