第1章、索洛增长模型

高级宏观经济学陈彦斌中国人民大学经济学院教材：AdvancedMacroeconomics（D.Romer，第4版）。第1章、索洛增长模型“增长理论”的进一步阅读材料：1.Weil，经济增长。2.Barro，经济增长。1.1经济增长的一些基本事实经济体为什么出现增长？国家之间为什么出现差异？1.2假定索洛模型的提出者：Solow(1956)，Swan(1956)。1)投入和产出生产函数:Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))Y(t):产出K(t):资本L(t):劳动A(t):知识，或者劳动效率A(t)L(t):有效劳动（Effectivelabor）三种生产函数:Y=F(K,AL):劳动附加型（labor-augmenting）Y=F(AK,L):资本附加型（capital-augmenting）Y=AF(K,L):希克斯中性（Hicks-neutral）2)关于生产函数的假设生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的：资本和有效劳动F(cK,cAL)=cF(K,AL)foranypositivec规模报酬不变假设与下面两个假设有关：经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。除了资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。简约型（紧凑型，Intensive-form）生产函数:y=f(k)F(cK,cAL)=cF(K,AL),andc=1/ALF(K/AL,1)=(1/AL)F(K,AL)F(k,1)=yk=K/AL:单位有效劳动的资本，capitalperunitofeffectivelabory=Y/AL=F(K,AL)/AL:单位有效劳动的产出outputperunitofeffectivelaborf(k)=F(k,1)f(k)的假设:f(0)=0,f’(k)0,f’’(k)0Inada条件:limk-0f’(k)=∞,limk-∞f’(k)=0f’(k)的含义:资本的边际产出F(K,AL)=ALf(K/AL),dF(K,AL)/dK=f’(k).Cobb-Douglas生产函数:F(K,AL)=K(AL),01F(cK,cAL)=cF(K,AL)f(k)=kf’(k)=kf’’(k)=k3)投入至产出的演化()()/()LtdLtdtnLt()(0)ntLtLe()()AtgAt()(0)gtAtAen，g为外生参数n是L的增长率：()/()()()()()dLtdtnLtLttLtntLt关于增长率的一些有用数学技巧，()/()XtXt:X1X2的增长率为1122//XXXXX1/X2的增长率为1122//XXXXXa的增长率为X增长率的a倍产出在消费和投资之间进行分割:Y=C+S=C+I=C+sY,s是投资占产出之比，是外生常数。()()()KtsYtKt1.3模型的动力系统（TheDynamicsoftheModel）1)k的动力系统k=K/(AL)=()()kKALkKALKALKALsYKngKsYngkALsfkngk因此，得到()(())()()ktsfktngkt问题：为什么有sf’(k*)n+g+sf’(k*)n+g+sf’(k*)k*sf(k*)f’(k*)k*f(k*)由于()(())()()ktsfktngkt,22'()(),''()0dksfkngddksfkkdk当kk*,0k;当kk*,0k.当k=0,(0)()00ksfng;当k=k*,0k.据上，得到下面图形稳定点（均衡）是稳定的（Thestationarypointisstable）当偏离k*时，有回到k*的趋势。2)平衡增长路径当k=k*,依据假设,L和A的增长率为n和g*AKLKkALgnALKy=f(k)=Y/AL=Y=ALf(k*)=ALgnAYLY()(/)(/)KLgnngKLKLLK(/)(/())YLgnnYYLgYLL索洛模型意味着，无论其起点在何处，经济总会收敛于平衡增长路径，在此情形中，模型的每个变量都以不变速度增长。(注意：r,w等价格变量增长率为0)在平衡增长路径上，人均产出的增长率只取决于技术进步速度g。1.4储蓄率变动的影响1)对产出的影响k的动力系统:k如何收敛至k*new1.k=k*old,s开始增加2.由于()(())()()ktsfktngkt,()0kt,因此k增加3.直到k=k*new因此，得到如下图形。Y/L的动力系统:Y/L=Af(k).当k为常数，Y/L以速度g增长当k增长时，Y/L增长一是因为A增长，二是因为k增长。因此，Y/L的增长率超过了g，即(())()()()((/)(/)))(AfkAYLYLfkfkggAfkAfkfk，当k增长时。当k=k*new,Y/L的增长率再次回到gln(/)(/)(/)dYLYLdtYL:lnY/L的斜率等于Y/L的增长率因此，得到下面图形。总长，储蓄率的变化具有水平效应（leveleffect），但不具有增长效应（growtheffect）：它改变了经济的平衡增长路径因而改变了在任何时点上的人均产出Y/L，但这并不影响平衡增长路径上人均产出Y/L的增长率。只有g的变化具有增长效应。2)对消费的影响家庭关心消费。C=Y-S=Y-sY=(1-s)Yc=C/AL=(1-s)Y/AL=(1-s)f(k).注意到s在t0时非连续的变动，但k不能非连续变动。因此，问题：最后的稳态消费是否会超过t0之前的稳态消费？3)黄金规则水平的k令c*表示平衡增长路径上的C/AL，******(1)()()()()()csfkfksfkfkngk由于k*取决于s,n,g,,将k*记为：**(,,,)kksng有，***((,,,))()(,,,)cfksngngksng得到***(,,,)'((,,,))()cksngfksngngss由于*(,,,)0ksngs,所以**0'((,,,))()csfksngngk*的这个值称为：黄金规则水平的资本。【含义：*'((,,,))fksngnYYg，实际收益率等于实际经济增长率】相关性不是因果关系！1.5定量的含义以上的定性分析表明：储蓄率的增加具有水平效应，将人均资本和人均产出将增加到更高的水平。下面的定量分析将表明：储蓄的显著变化只会对平衡增长路径上的产出水平产生中度的影响。1)长期中对产出的影响储蓄增加对产出的长期效应为*ys。下面计算：****//syyyysss由()(())()()ktsfktngkt有**((,,,))()(,,,)sfksngngksng****'()()()kksfkfkngss***()()'()kfksngsfk因此，由**()yfk，得到******(,,,)'()()'()()'()yksngfkfkfkssngsfk因此，***************************'()()()()'()()'()()()'()()'()()()()'()/()()'()()()()'()/()'()/()1'()/(sysfkfkysfkngsfksfkfkfkngsfkngkfkfkngsfkfkfkngkfkfkngngkfkfkkfkfkkfkfk***)(),1()KKkk****()'()/()Kkkfkfk的含义:k=k*处产出关于资本的弹性。[当为C—D生产函数时，K的值]资本份额（资本收入占总收入的比重）。如果市场是竞争性的，并且不存在外部性，资本就能获得其边际产出。在平衡增长路径上，资本（单位有效劳动的资本）所获得的总产出为**'()kfk，因而资本份额为***'()/()kfkfk。例子：大部分国家K=1/3,因此K/(1-K)=0.5。s增加10%(从0.2增加到0.22)，将导致y只增加5%。即使s增加50%，y也只增加25%。这说明：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的人均产出的影响是中度的（moderate）。【含义：1、黄金规则下的储蓄率才是最优的。2、储蓄率的增加虽然可以增加收入，但是影响不大】【注意：中国的K=2/3,因此K/(1-K)=2。因此，储蓄率变动对中国的影响比对美国的影响要大。】2)收敛速度记()kkk,有*()0kk。由一阶泰勒近似，有*****()()()kkkkkkkkkkkkkkkkk由()(())()()ktsfktngkt,有*********()'(())()()'(())()()()'()()()[()1]()kkKkksfktngksfkfktngfkngkfkngfkkng因此,**()[1()]()()Kktkngktk定义**()(),[1()]()Ktktkkng因此,()()()(0)tttte有*[1()]()**()(0)Kkngtktkekk如果t∞,那么kk*。还可以证明：**()((0))tytyeyy参数校准（Calibration）：n+g+=6%每年，(人口增长率n=1~2%,人均产出增长率g=1~2%,3~4%)K=1/3Kn+g+4%/每年问题1：k和y每年走完剩下距离的4%(i.e.k(t)-k*andy(t)-y*):Solution:由**()((0))tytyeyy和*(1)*(1)((0))tytyeyy有*(1)***(1)((0))0.96()((0))ttytyeyyeytyeyy注意*(1)yty是还没有走完的路程。问题2：需要大约17年走完距离平衡增长路径的一半。Solution:由**()((0))tytyeyy和*()*()((0))tsytsyeyy有*()***()((0))0.5()((0))tsstytsyeyyeytyeyy即,ln(0.5)/()=17.3s问题3：我们已经知道s增加10%(from0.2to0.22),在长期中y增加5%，这个变动需要多长时间？Solution:*()(0)()**(0)(0)(0)*(0)()*(0)(0)*(0)((0))(0)(0)*(0)(1)(1)5%(0)tttytyytyyyyyyyytyyyyyeyyyyyyeey(1-exp(-0.04*1))*0.05ans=0.00196(1-exp(-0.04*18))*0.05ans=0.02566(1-exp(-0.04*100))*0.05ans=0.049081.6索洛模型与增长理论的核心问题（人均）资本积累的差异无法说明（人均）收入的较大差异。例如，f1(k1)=k1,若f1/f2=10,那么k1/k2=(f1/f2)1/.但是，资本-产出比随时间大致不变。收入的较大差异需要资本收益率的巨大差异