高中数学第一章§1-2-1函数的概念课件新人教A版必修

1．2.1函数的概念【学习要求】1．通过丰富实例，理解函数的概念，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2．了解构成函数的三要素；3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．【学法指导】本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x)的学习，借助具体函数来理解符号y＝f(x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力.1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数,记作.其中x叫做，x的取值范围A叫做函数的，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的．(2)值域是集合B的．填一填·知识要点、记下疑难点对应关系f任意一个数x唯一确定的数f(x)f：A→By＝f(x)，x∈A自变量定义域函数值值域子集2．区间(1)设a，b是两个实数，且ab，规定：①满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为；②满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为；③满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为．(2)实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“”，“－∞”读作“”．我们把满足x≥a，xa，x≤b，xb的实数x的集合分别表示为，，，.填一填·知识要点、记下疑难点a≤x≤b[a，b]axb(a，b)a≤xbax≤b[a，b)，(a，b](－∞，＋∞)正无穷大负无穷大[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b).问题情境：初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．研一研·问题探究、课堂更高效探究点一函数的概念问题1初中学习的函数的概念是如何定义的？研一研·问题探究、课堂更高效答设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x值对应的y的值叫做函数的值域．问题2初中学过哪些函数？答正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等．问题3阅读教材中的三个实例，并指出三个实例存在哪些变量？变量之间的对应关系采用什么形式表达的？三个实例中变量的关系有什么共同点？研一研·问题探究、课堂更高效答每个实例中都存在着两个变量；实例(1)中的两变量关系通过关系式表达的，实例(2)中的变量间的关系通过图象表达的，实例(3)中的变量间的关系通过列表的形式表达的；三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作：f：A→B.问题4函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域及值域是指什么？研一研·问题探究、课堂更高效答函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．问题5在函数的定义中，值域与集合B有怎样的关系？答值域是集合B的子集．问题6f(x)与f(a)有何区别与联系？研一研·问题探究、课堂更高效答f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．例1对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．A．1个B．2个C．3个D．4个研一研·问题探究、课堂更高效解析①③正确，②是错误的，对于不同的x，y的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．B小结在y＝f(x)中f表示对应关系，不同的函数其含义不一样；f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”．跟踪训练1给出四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了．正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个研一研·问题探究、课堂更高效解析由于4个命题都满足函数的定义的要求，故都正确．故选D.D探究点二函数构成的三要素问题1一个函数的构成有哪些要素？研一研·问题探究、课堂更高效答定义域A、对应关系f和值域{f(x)|x∈A}，共三个要素．问题2在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？为什么？答起决定作用的是函数对应关系和定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，当两个函数的定义域和对应关系相同时，值域一定相同．小结如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．问题3新的函数定义与传统的函数定义有什么异同？研一研·问题探究、课堂更高效答两个定义中的定义域与值域的意义完全相同；两个定义中的对应关系实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，初中的定义是从运动变化的观点出发，新定义的对应关系是从集合与对应的观点出发．问题4你能从集合的角度解释y＝1是函数吗？答A＝R，B＝{1}，f∶x→y＝1，x∈A，y∈B.例2下列函数中哪个与函数y＝x相等？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.研一研·问题探究、课堂更高效解(1)y＝(x)2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同且值域不同，所以两函数不相等；(2)y＝3x3＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相等；(3)y＝x2＝|x|＝x，x≥0－x，x0，y≥0；值域不同，且当x0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以不相等；(4)y＝x2x的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以不相等．小结在两个函数中，两个函数的定义域、值域、对应关系有一个不同，两函数就不等，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等．跟踪训练2下列各组中的两个函数是否为相等的函数？(1)y1＝x＋3x－5x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1x－1，y2＝x＋1x－1；(3)f1(x)＝(2x－5)2，f2(x)＝2x－5.研一研·问题探究、课堂更高效解(1)中两函数定义域不同，所以不相等；(2)中y1＝x＋1x－1的定义域为{x|x≥1}，而y2＝x＋1x－1的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，定义域不同，所以两函数不相等；(3)中定义域、值域都不同，所以不相等．探究点三求函数的定义域、值域问题在初中已学函数的定义域和值域是怎样的？研一研·问题探究、课堂更高效答一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)：定义域为R，值域为R；反比例函数f(x)＝kx(k≠0)：定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域为R，值域：当a0时，y|y≥4ac－b24a；当a0时，y|y≤4ac－b24a.例3求下列函数的定义域．(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.研一研·问题探究、课堂更高效解(1)∵x≠2时，分式1x－2有意义，∴这个函数的定义域是{x|x≠2}．(2)∵3x＋2≥0，即x≥－23时，根式3x＋2才有意义，∴这个函数的定义域是{x|x≥－23}．(3)∵要使函数有意义，必须x＋1≥02－x≠0⇒x≥－1x≠2.∴这个函数的定义域是{x|x≥－1且x≠2}．小结求函数定义域的原理：使函数表达式有意义的自变量的取值范围．已知函数y＝f(x)：(1)若f(x)为整式，则定义域为R；(2)若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；(3)若f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)若f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3求下列函数的定义域．(1)y＝－12x2＋1；(2)y＝x－2x2－4；(3)y＝1x＋|x|；(4)y＝x－1＋4－x＋2；(5)y＝4－x2＋1|x|－3；(6)y＝ax－3(a为常数)．研一研·问题探究、课堂更高效解(1)x∈R；(2)要使函数有意义，必须使x2－4≠0，得原函数的定义域为{x|x∈R且x≠±2}；(3)要使函数有意义，必须使x＋|x|≠0，得原函数的定义域为{x|x0}；(4)要使函数有意义，必须使x－1≥0，4－x≥0，得原函数的定义域为{x|1≤x≤4}；(5)要使函数有意义，必须使4－x2≥0，|x|－3≠0，得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；研一研·问题探究、课堂更高效(6)要使函数有意义，必须使ax－3≥0，得当a0时，原函数的定义域为{x|x≥3a}；当a0时，原函数的定义域为x|x≤3a；当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故不是函数．研一研·问题探究、课堂更高效探究点四区间的概念问题1阅读教材17页上半部分，然后写出区间的概念．答设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]．(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)．(3)满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，b)或(a，b]．研一研·问题探究、课堂更高效问题2实数集R及x≥a，xa，x≤b，xb如何用区间表示？答实数集R可以用区间(－∞，＋∞)表示，x≥a，xa，x≤b，xb用区间分别表示为：[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．研一研·问题探究、课堂更高效例4(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域．(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．解(1)∵f(x)的定义域为(0,1)，∴要使f(x2)有意义，须使0x21，即－1x0或0x1，∴函数f(x2)的定义域为{x|－1x0或0x1}．(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0x1，令t＝2x＋1，∴1t3，∴f(t)的定义域为{t|1t3}，∴函数f(x)的定义域为{x|1x3}．小结由于函数的定义域和值域都是一个集合，在求函数定义域和值域的时候，要把定义域和值域写成集合的形式，所以常用两种方法表示：集合、区间．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练4已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．解∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，∴f(t)的定义域为[－1,4]，即f(x)的定义域为[－1,4]，要使f(2x2－2)有意义，须使－1≤2x2－2≤4，∴－3≤x≤－22或22≤x≤3.函数f(2x2－2)的定义域