基于延迟退休的数学模型

2014年第十一届五一数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们授权五一数学建模联赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为：参赛组别（研究生或本科或专科）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.日期：2014年5月4日获奖证书邮寄地址：邮政编码2014年第十一届五一数学建模联赛编号专用页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：评阅记录评阅人评分备注裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：11212014年第十一届五一数学建模联赛题目关于延迟我国退休年龄问题的探析和前瞻摘要本文根据我国国情参照发达国家的退休年龄，对不同群体实施延迟退休政策，并且研究其对我国的社会问题的影响，尽快做出“延迟退休”的科学可行的制度设计。问题一：我们针对我国国情指标，构造得到国民人均预期寿命，人口老龄化程度，劳动力供求状况，国民受教育情况的计算公式，拟合得到变化趋势图，定性分析这四个指标对延迟退休的影响。其影响分别为随退休年龄增加，国民受教育时长，人口老龄化程度,国民人均预期寿命呈呈增长趋势，劳动力状况呈下降趋势。问题二：我们针对不同群体，研究其具体工作状况，进而得到评价指标，再利用层次分析法构建评价模型，得到对不同群体较为合理的不同延迟退休年限。如我国的延迟退休政策较为合理的退休年限应为：教师延迟4年，内科医生延迟5年，公司职员延迟3年，客车司机延迟2年，重体力劳动者延迟1年。问题三：我们参照发达国家的退休年龄研究我国的退休年龄，对其中五个发达国家典型国情指标与我国国情指标进行构造多元统计回归模型，计算得到按我国当今国情的退休年龄。并研究发达国家出台延迟退休年限时间表，预测出我国出台延迟退休政策执行时间表。(详见表4)问题四：我们针对出台延迟退休政策对我国就业问题的影响，建立计量模型，定量分析出延迟退休政策对就业问题的量化关系(详见公式1)，定性分析出台该政策的合理性。问题五：根据问题一到四所建立的模型，总结制定出合理可行的建议和制度设计。关键字：数据拟合层次分析法多元统计回归计量模型延迟退休1一、问题重述随着我国人口老龄化快速发展，“延迟退休”成为了人们很关注的一个热点问题，而各个阶层的不同人群对“延迟退休”也持有不同的看法，于是人们希望能够尽快的制作出“延迟退休”科学可行的制度设计。查阅资料并解决以下问题：1、分别给出“国民人均预期寿命、人口老龄化程度、劳动力供求状况和国民受教育情况”的四个指标计算公式，分别找出这四个指标与“延迟退休”的关系式，并定性分析研究这四个指标对“延迟退休”的影响。2、由于各不同行业的工作状况的具体要求与待遇不同，所以应该认真商榷“延迟退休”的年限对于不同群体的问题，就四川地区选择教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳动者（含特殊行业工人）5类群体，研究其工作状况、工作环境、体质要求等相关影响因素。通过这些评价因素，来寻找出一个合理的延迟退休年限（1到5年）。3、如今世界各国的退休年龄都各不相同，某些国家退休年龄超过60岁，某些不超过60岁。选取5个退休年龄超过60岁的国家，并通过研究美国、日本、德国、澳大利亚、意大利这5个国家的国民人均预期寿命、劳动力供求状况、国民受教育年限和人口老龄化程度影响延迟退休年龄的相关因素，得出相应结果，并预测出我国出台延迟退休政策执行的时间表。4、实施延迟退休政策必定会对就业、养老保险等社会问题带来一定的影响，针对这两个方面选取其中一个方面，建立适当的数学模型，定量分析出我国“延迟退休”政策的实施带来的影响。5、综合上述1、2、3、4等问题的相关分析，总结提出关于“延迟退休”的建议报告给上级主管部门。二、问题分析设计“延迟退休”科学可行的制度，仅是单一的分析与其相关的某个因素显然不行。随着“国民人均预期寿命、人口老龄化程度、劳动力供求状况和国民受教育情况”改变的趋势，势必会对延迟退休产生一定的影响，而各个行业的具体工作环境，要求差异也对延迟退休有一定的影响，所以我们只能从多个指标入手，充分利用评价模型和预测模型得出“延迟退休”科学可行的制度设计。对于问题一：经资料显示，可以分别得出国民人均预期指标计算公式，人口老龄化程度的指标计算公式，劳动力供求状况的指标计算公式,针对国民教育情况，利用了Matlab进行数据拟合，得到了国民教育指标计算公式。根据四个指标的变化趋势图，得出四个指标对延迟退休的影响。对于问题二：由于各行各业工作状况有所不同，因此我们以延迟退休年限对不同人群的影响为目标，选取四川地区的5类群体（教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳动者（含特殊行业的工人））为决策方案，把工作坏境、工作经验、体质要求作为三个评价指标，建立层次分析法的评价模型，分别得出这5类群体较合理的延迟退休年限。对于问题三：目前世界各国的退休年龄不大一致，其原因在于其国情有所不同，分2别对美国、日本、德国、澳大利亚、意大利的“国民人均预期寿命、劳动力供求状况、国民受教育年限和人口老龄化程度这四个国情指标分别进行分析，建立回归统计模型，然后对比我国基本国情，来做出相应调整并预测出政策执行时间表。对于问题四：延迟退休政策必然会给社会带来一些正面的和负面的影响，而其中比较突出的是延迟退休政策对就业，养老保险的影响，如果过早退休，需要赡养的老年人会不断增多，社会养老压力就会越来越大，为保持养老金收支平衡，则国家将不得不提高费率、税率，也就意味着企业运营成本增加，导致供给减少，失业率上升。因此我们从就业问题出发，构建了延迟退休年龄与就业关系的计量模型，揭示了延迟退休年龄与就业、经济发展的内在关系。[1，2]对于问题五：在上述问题的基础上，做出综合评价，从我国基本国情出发，给上级相关主管部门写一篇关于“延迟退休”的建议报告。综上所诉，本问题可以看成是建立层次分析的评价模型和统计回归模型以及计量模型分别得出5类群体较合理的延迟退休年限和预测出我国出台延迟退休政策执行的时间表以及分析出我国“延迟退休”政策实施可能带来的影响。进而设计合理可行的延迟退休制度。三、问题假设1、假设各国“延迟退休”政策的退休年限和执行时间表均以男性为标准。2、假设研究延迟退休对某一指标的影响，其他指标值忽略不计。3、针对问题一的假设：四个国情指标对于延迟退休影响等值。4、针对问题二的假设：工作状况的评价指标为工作环境，工作经验，体质要求，性别，工资等。5、针对问题三的假设：“延迟退休”政策一旦出台，就能立即实施，减少对问题四的影响。四、符号说明xe国民人均预期寿命（总人总年数与总人数的比值）wtt年老龄化程度为老龄化指数Mtt年份劳动力供求指数y国民受教育程度w组合权向量回归系数L参加就业的劳动力i其相应的劳动力参与率就业弹性系数3五、模型建立与求解5.1问题—的模型建立与求解5.1.1国民人均预期寿命的计算公式[3]：总人总年数：xnxTL今尚存人数:xl，满x岁尚存者在今后n年内的生存人年数nxL年龄组死亡概率（刚满x岁的尚存者在今后n年内死亡的可能性）0,02021nxnxnxmxnmqxwnmxw，，其中，nnnxnxdmp，尚存人数表示同时出生的一代人中活满x岁时，在今后n年内死亡的人数，死亡人数:nxd，尚存人数与死亡人数的计算式：nxd=xl.nxqxnxnxlld综上可以得出国民人均预期寿命的计算公式（总人总年数与总人数的比值）：国民人均预期寿命（总人总年数与总人数的比值）：xxxTel5.1.2人口老龄化的计算公式[4]：设t年份的平均年龄离散化表达式为：At=01maiiixtNt其中用ixt表示t年满i周岁但不到1i岁的人口总数，i=0，1，2，…今t年份的平均寿命离散化表达式为：0St=00imjjautie其中年龄死亡率函数iut，由于死亡率在一段时问内变化不大，故规定为常量。故t年老龄化程度为老龄化指数为wt，老龄化指数(该年份的平均年龄与平均寿4命之比)的计算公式：0AtwtSt5.1.3劳动力供求关系计算公式[4]：其中该t年份劳动力人口数lt;该t年份人口总数:N(t)劳动力供求关系计算公式（劳动力人口数与人口总数之比）：()ltMtNt5.1.4国民受教育程度的计算公式:由Matlab经数据拟合（2003到2012的年份中全国受教育总人数）详见附件1，得到全国受教育程度计算公式和图形：215.07388.1123047yxx01234567892.272.282.292.32.312.322.332.342.35x104x轴y轴图表1综上我们可以定性的分析这四个指标对延迟退休的影响，随着我国经济的发展和人民生活水平的不断提高，人均预期寿命不断延长，我国的人口老龄化程度呈增长趋势,1950年中国人口的平均预期寿命男性仅为40岁，女性仅为42．3岁，[5]而2000年第五次人口普查数据显示中国人口预期寿命已经提高至男性69．6岁，女性73．3岁。其次，退休年龄与受教育年限延长不相适应。改革开放以来，中国教育事业取得了长足进步，中国人的受教育人均年限和20世纪50年代相比有了显著提高，进而推迟了劳动力就业的平均年限。维持原来的退休年龄规定，意味着人力资本投资回报期的缩短，劳动力可能处在人力资本高峰期退休，这既是人力资本的浪费，同时也会转而抑制人们进行人力资本投资的积极性，阻碍人力资本总量的提高。最后，退休年龄与人口老龄化趋势不相适应。1964年第二次全国人口普查数据显示61岁及以上人口占总人口比重为5．5％，而2008年全国人口抽样调查数据显示60岁及以上人口占总人口比重已达到14．01％，65岁及以上人口比重也已高达9．54％。并且，人口老龄化程度在未来一段时期还有不断加深的趋势，据预测，2030年左右中国将进入人口老龄化高峰期，届时人口老龄化程度将达到24．5％。[6]人口老龄化程度的提高对经济社会发展提出了挑战，突出表现在劳动人口比重下降、人力资本存量减少、社会保障压力提高等方面，而中国在人口老龄化程度不断加剧的条件下，却依然维持较低的退休年龄规定，将对人口老龄化条件下经济社会的可持续发展造压力。55.2问题二的模型建立与求解对于延迟退休问题针对我国五个不同群体可以通过层次分析法来构造数学模型。目标层为延迟退休年限，准则层为影响延迟退休年限的三个影响指标：工作环境，工作经验和体质要求。（对于影响指标，考虑如性别，收入等，但由于无法在五个不同群体中产生强烈比较故忽略不计。）该模型的方案层为五个不同群体。步骤一：将问题条理化，层次化，于是得到以下层次结构模型：图1层次结构图步骤二：建立层次分析模型后，我们可以在各元素中两两比较构造出比较判断矩阵。考虑准则的各因素对目标层的影响情况。用1C,2C,3C,4C，5C表示下面五个不同群体：教师，内科医生，公司职员，客车司机，重体力劳动者。设iC与jC对目标层的影响之比为ija(ija=1),准则层对目标层的判断矩阵为33ijAa，1jiijaa即113711135751A有了判断矩阵A，我们可以通过相应的方法求出该矩阵的特征值和特征向量。目标层方案层准则层延迟退休A工作环境B1工作经验B2体质要求B3教师C1医生C2职员C