《极大似然估计法》PPT课件

1对参数估计来说，预报误差法、极大似然法适用范围均较为广泛，它们不仅适用于线性模型也适用于非线性模型，是处理残差序列相关情况下的另一类辩识算法。预报误差法类似于最小二乘法，它并不要求任何关于数据概率分布的统计假设为前提条件，而极大似然估计属于一种概率性的参数估计法。随机逼近法是由统计学中，通过连续逼近以获得估计参数发展而来的。它是随机问题的梯度法应用于观测数据被噪声污染，且对此噪声的统计特性不够了解的情况。算法十分简单，具有实用价值。第六章极大似然法及其它辩识方法2极大似然的思想先看一个简单例子：某位同学与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过。只听一声枪响，野兔应声到下了，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，看来这一枪应该是猎人射中的。这个例子所作的推断就体现了极大似然的基本思想。3如果样本取值x1x2…xn，则事件发生的概率为。这一概率随的值变化而变化。从直观上来看，既然样本值x1x2…xn已经出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使其概率取比较大的值。取似然函数如下：设总体X是离散型随机变量，其概率函数为，其中是未知参数。设X1X2…Xn为取自总体X的样本。X1X2…Xn的联合概率函数为。这里，是常量，X1X2…Xn是变量。1(,)niipX(;)px11{,,}nnXxXx1(,)niipxniinxpxxxLL121);();,,,()(4因此，求参数的极大似然估计值的问题就是求似然函数最大值问题。这通过解方程来得到。因为和的增减性相同，所以它们在的同一值处取得最大值，称为对数似然函数。可以通过求解下列方程来得到极大似然解。极大似然估计法就是在参数的可能取值范围内，选取使达到最大的参数值，作为参数的估计值。即取，使得：()Lln()Lˆ()L()L);,,,(max)ˆ;,,,()(2121nnxxxLxxxLL()/0dLdln()L0)(lndLd5例1：设某工序生产的产品的不合格率为p，抽n个产品作检验，发现有T个不合格，试求p的极大似然估计值。分析：设X是抽查一个产品时的不合格品的个数，则X服从参数为p的两点分布。抽查n个产品，则得样本X1,X2,…Xn，其观察值为x1,x2…xn，假如样本有T个不合格，即表示x1,x2…xn中有T个取值为1，有n-T个取值为0。基于此求参数p的极大似然估计值。6(1)写出似然函数11()(1)iinxxiLppp11()[ln(1)ln(1)]ln(1)[lnln(1)]niiiniilpxpxpnpxpp0)1(11)111(1)(11niiniixpppnppxpndppdl11ˆniiTpxnn(2)对似然函数取对数，得到对数似然函数:(3)对似然函数求导，令其为零，得到似然估计值7例2：设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从，其中参数未知。为了估计，从中随机抽取n=100根轴，测得其偏差为x1,x2…x100。试求的极大似然估计。),(2N2,2,2,分析：显然，该问题是求解含有多个(两个)未知参数的极大似然估计问题。通过建立关于未知参数的似然方程组，从而进行求解。2,8212222)(2212)(2)2(21),(niiixnnixeeL222211(,)ln(2)()22niinlx221222241(,)1()0(,)1()022niiniilxlnx11ˆniixxnniixxn122)(1ˆ9例3：某电子管的使用寿命X(单位:小时)服从指数分布：1,0:(;)(0)0,xexXpxother今取得一组样本Xk数据如下，问如何估计θ？162950681001301402702803404104505206201902108001100101111()niiinxxniLee11lnlnniiLnx21ln10niidLnxd11ˆniixxn111572331818niixn111、由总体分布导出样本的联合概率函数；2、把样本联合概率函数中自变量看成已知常数，而把参数看作自变量，得到似然函数；3、求似然函数的最大值点(常转化为求对数似然函数的最大值点)；4、在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极大似然估计值。极大似然估计的法的运算步骤：()L12作业：设总体的密度函数为：(;)(1),01pxxx现在得到总体的一个样本X1,X2,…,Xn，其观测值为x1,x2,…,xn，求参数的极大似然估计。13对极大似然原理描述如下：对于已有的一组观测数据{y1,y2,…,yN}，它所具有的联合概率分布表示了出现该观测结果的可能性。而观测值{y1,y2…,yN}的联合概率密度函数与待估参数的不同的参数值，将有不同的概率密度函数。当，得到该观测值{y1,y2,…,yN}的可能性最大。也就是说，当观测结果为{y1,y2,…,yN}的条件下，是接近于参数真实值的可能性最大的参数估计值。6.1极大似然法(MaximumLikelihoodEstimation)1.极大似然原理ˆML(,)PYˆML14极大似然法需要构造一个以数据和未知参数为自变量的似然函数，并通过极大化似然函数，获得模型的参数估计值。已知参数的条件下，观测量的概率密度为在N次测量{y1,y2,…,yN}后，考虑似然函数：如果不要求的分布密度，只要问的值为多少(最可能的值)，那么就只要求使得：12121,,,,,,NNNiiLyyyPyyyPy(,)PY1maxNLyy15在特殊情况下，能够通过方程得到解，但在一般情况下，上式不容易得到解析解，需要采用数值方法来求近似解。考虑到似然函数一般为指数函数，而指数函数和对数函数都是单调的，为了方便求解，上式等价于如下方程：对于确定了的观测值Y而言，似然函数仅仅是参数的函数。由极大似然原理可知，满足以下方程：ˆMLˆMLˆˆ0ˆMLLˆˆln0ˆMLL16其中为高斯白噪声，模型的估计问题可以表示成以下向量问题：下面利用极大似然原理，分析动态系统模型参数的极大似然估计问题。首先分析极大似然估计和最小二乘估计的关系。考虑系统模型为线性差分方程：2()0,kN10()(1)()()()()nnykaykayknbukbuknk17Ye()(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(1)()()()ynyunuynyunuynNyNunNuN(1)(2)()TYynynynN(1)(2)()TennnN1201TnnaaabbbeY18根据极大似然原理，求上式对未知参数求偏导数且令其为0，可得：由于是均值为零的高斯不相关序列，且与{u(k)}不相关，于是得到似然函数：22221,2exp2NTLPeYY2,()ek对应的负对数似然函数为：221lnlnln2222TNNLYY1ˆTTMLY19这与最小二乘法的结果相同，这说明当噪声为高斯白噪声时，参数的极大似然估计和最小二乘估计是等价的。进一步，由：在实际问题中，往往不是白噪声序列，而是相关噪声序列。下面讨论残差相关的情况下极大似然估计的求解。()ek222ln0MLL21ˆˆˆTMLMLMLYYN20考虑模型为如下形式：111()()()()()()AzykBzukCzk101()()()()()nnniiiiiikykaykibukicki2.数值解法上式可以改写为：1111101111()1()()1nnnnnnAzazazBzbbzbzCzczcz212TREI20,NI(1)(2)()TnnnN101()()()()()nnniiiiiikykaykibukicki令：在独立观测的前提下，得到输入输出数据{y(k)}和{u(k)}，测量N次，得到N值白噪声向量为：噪声的协方差阵为：120112TnnnaaabbbcccYY向量形式的方程组可以写为：22当是某个估计值时，把改写为v(k)，则得到似然函数，并求对数得到：此时的联合概率密度为：2222211,2exp()2NnNknPk()kYY22211lnln2ln()222nNknNNLvk2ln0ˆL2211ˆ()nNknvkN其中：101ˆˆˆ()()()()()nnniiiiiivkykaykibukicvki23进一步得到：根据极大似然原理，对数似然函数取极值，等价于：式中v(k)满足约束条件。211ln()ln2nNknvkNNLconst2ˆ11ˆ()()minMLnNMLknVvkN24综合以上分析，极大似然估计就是使得因为是参数c1,c2…cn的非线性函数，只能通过迭代法求解．这里介绍Newton-Raphson法。(1)选定初始值。对于中的参数a1,a2…an，b0,b1…bn，可按模型：11ˆˆ()()()()()vkAzykBzuk()Vˆ(0)ˆ()minMLVˆ(0)用最小二乘法求得，对于中的c0,c1…cn可以先假定一些值。ˆ(0)25(2)计算预测误差211()2nNknJvk1()()ˆˆnNknJvkvk1()()ˆ()ˆˆnijiivkvkjvkicccˆ()()()vkykyk(3)计算J的梯度和Hessian矩阵ˆ/J2211ˆ()nNknvkN2ˆ/TJ其中：1()()ˆ()ˆˆnijiivkvkjykicaa1()()ˆ()ˆˆnijiivkvkjukicbb26再由向量对参数向量求偏导数，得到可以看出上面三个等式为差分方程，这些差分方程的初始条件为0，可以求解这些差分方程，分别求出v(k)关于的全部偏导数。101ˆˆˆˆˆˆ,,,,,,,,nnnaabbcc21()()ˆˆnNTknvkvkˆ/Jˆ2211()()()()ˆˆˆˆˆˆnNnNTTTknknJvkvkvkvk因为v(k)是个小量，可以忽略。21()()ˆˆˆˆnNTTknJvkvk27(5)重复(2)至(4)的计算步骤，迭代求新的参数估计值，直至v(k)方差的相对误差小于某个正小数，所得到的参数估计值就是极大似然估计值。(4)按照Newton-Raphson法计算：ˆ(1)kˆ()12ˆˆˆ(1)()ˆˆˆTkkkJJ28令，则模型式的参数的极大似然估计为：为了进行在线辩识，需要给出递推的极大似然估计算法，即每观测一次数据就递推计算