数形结合例题选集

数形结合1数形结合一、在一些命题证明中的应用举例：1、证明勾股定理：2222cbaba0.5ab4）（）（解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222cba。2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：））（（bababa222abbaba222）（解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。3、证明基本不等式：数形结合2解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为2ba，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为ab，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。4、证明正（余）弦定理：解析：（1）如上图所示，csinBbsinCbsinCa21ha21SABC的面积；即sinCcsinBbsinAasinCcsinBb，同理可得；根据圆的性质（等弧对等角）2RsinAa2RasinDsinADA，即，；综上，得正弦定理：2RsinCcsinBbsinAa。（2）根据勾股定理22222222cosBcabcosBccCEACBEAB）（）（，即；整理可得余弦定理：2acbcacosB222；同理得出cosA、cosC的余弦定理。5、证明结论），（，20xsinxxxtan数形结合3解析：如上图所示，根据y=tanx、y=x、y=sinx在），（20x上的图像可看出tanxxsinx，），（20x。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图的单位圆中，当），（20x时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式x1xRl，即图中黑色弧线的长度表示x，显而易见。红线长度弧线长度蓝线长度，即tanxxsinx，），（20x。6、证明两角差的余弦公式：解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标表示。左图中，222sinsincoscosAB）（）（，将B点旋转至（1，0）处（右图所示）。此时，222][sin]1[cosAB）（）（，因为线段AB的长度没有发生变化，即22sinsincoscos）（）（22][sin]1[cos）（）（，化简：sinsincoscoscos）（。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。如左图，11sincossincosOBOAOBOAcos），（），（）（sinsincoscos。二、在考试中的具体应用：1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面：例1（14奉贤）已知定义在R上的函数y=f（x）对任意x都满足f（x+2）=-f（x），当，若函数）（时，3xxf1x1-xlogxfxga）（）（只有四个零点，则a的取值范围是答案：），（），（533151解析：根据已知条件，f（x）的周期为4，先画f（x）一个周期图像，当1x3时，222x-xfx-f2x2xf）（）（），（）（）（，由此画出[-1，3）的图像，数形结合4此为一个周期，图像如下，xlogxfxga）（）（只有四个零点即f（x）与y=xloga只有四个交点，需分类讨论：（1）当0a1时，有两个界值，如下图所示：此时5个交点，代入点（-5，-1），解得a=51此时3个交点，代入点（3，-1），解得a=31（2）当a1时，也有两个界值，如下图所示：此时3个交点，代入（-3，1），解得a=3。评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。例2（14闵行）4x3708xx324x0xlogxf22，，）（，若a、b、c、d互不相同，且f数形结合5（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是答案：（32，35）解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=2c12c12c）（，4c5，所以答案是（32，35）。评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相关性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图时，虽说是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间时，务必考虑区间的开闭情况。变式已知函数f（x）=||x-1|-1|，若关于x的方程f（x）=t（tR）恰有四个互不相等的实数根432143214321xxxxxxxxxxxx），则（、、、的取值范围是答案：（3，4）解析：根据题意，如下图所示，）（，3343432121x4xxxxxxx0xx=），（，21xx4x3233。例3（14杨浦）定义一种新运算：baababba，，。已知函数f（x）=（1+xlogx42），若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围是（）A.（1，2]；B.（1，2）；C.（0，2）；D.（0，1）答案：B数形结合6解析：4x0xlog4xx41x41xlogxlogx41xlogx41xlogx41xf22222，，，，）（）（，如下图所示：令g（x）=f（x）-k=0，问题转化为函数y=f（x）与函数y=k有两个交点，则k（1，2）。评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k的取值范围等。例4（14宝山）关于函数f（x）=1xx，给出下列四个命题：①当x0时，y=f（x）单调递减且无最值；②方程f（x）=kx+b（k0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；④y=f（x）是偶函数且有最小值。则其中真命题是答案：②、④解析：含绝对值、分类讨论。先画x1和0x1的部分，然后根据偶函数的性质（关于y轴对称）画出左半部分，函数图像如下图所示：①明显错误；③k=0时，解的个数为1；②、④正确。评注：含绝对值的数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，画出函数图像，再结合函数性质，一般是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进行分析筛选。数形结合7例5（14奉贤）定义在），（0上的函数f（x）满足：①当），3[1x时，3x2x32x11xxf，，）（；②f（3x）=3f（x）。设关于x的函数F（x）=f（x）-1的零点从小到大依次记为54321xxxxx、、、、、……，则54321xxxxx答案：50解析：结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，4321xxxx5x2+4+8+10+26=50评注：数学结合最直观，或根据函数的对称性，找到对称关系，图像就画出来了，答案也就呼之欲出，这就是数形结合在直观呈现方面的快捷。2、与三角函数的综合运用：例1（14十三校联考）已知f（x）=asin2x+bcos2x（a、b为常数），若对于任意内的解为，在区间）（），则方程（）（都有][00xf125fxfRx答案：x=32x6或解析：根据“若对于任意）（）（都有125fxfRx”可知，当x=125时，函数图像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为，因为函数的最值横坐标与相邻零点之间相差41个周期，即4，所以在区间[0，]内的解（即在区间[0，]内的零点）为x=32x6x4125或，即。评注：本题看似复杂，因为有字母a、b，但只要理解了“三角函数的最值横坐标与相邻零点急间相差41个周期”这样的图像性质，结合图像原理，就迎刃而解了。例2（14闸北）设a0且a1，已知函数f（x）=）（0x2xsin22ax至少数形结合8有5个零点，则a的取值范围为答案：（0，1）（1，2）解析：就是求函数），（在与函数0xa2yxsin22yx上的交点个数，分两种情况：（1）当0a1时，在），（0x两个函数图像有无数个交点，如下图所示：所以0a1时，满足至少有5个交点（2）当a1时，如下图所示，在），（0x要至少5个交点，xa2y函数在x=1处要大于0即2-a0，a2，满足至少有5个交点。评注：这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数交点个数问题，注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。例3（14虹口）函数f（x）=2sinx与函数31xxg）（的图像所有交点的横坐标之和为答案：17解析：画出函数f（x）=2sinx与函数31xxg）（的图像，如下图所示：这俩图像都是关于点（1，0）对称，所以它们的交点也是关于点（1，0）对称，即一对对称交点的横坐标之和为2，总共有8对关于点（1，0）对称的点，再加上（1，0）点本身，即所有交点的横坐标之和为17。评注：本题首先要熟悉函数的图像变换，精确画出函数图像，然后再研究交点的数形结合9特性，在这道题中，交点关于点（1，0）对称的，在这个前提下，求横坐标之和就转化成简单的中点问题。例4已知函数y=f（x），任取tR，定义集合：））（，（），点（tftPxfy|{yAt，2PQxfxQ），（，（}，设中元素的最大和最小值分别表示集合和tttAmM，记，则：）（ttmMth（1）若函数f（x）=x，则h（1）=（2）若函数f（x）=sinx2，则h（t）的最大值为答案：（1）2；（2）2解析：定义的意思是函数y=f（x）在以定点P（点P在函数图像上）为圆心半径为2的圆内的部分，这部分函数图像的值域即tA（1）定点P（1，1），如下图所示，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以h（1）=2（2）对于f（x）=sinx2，函数最大值与最小值之差2，如下图所示，通过理解观察，可得出tA能够同时包含最大值和最小值，所以h（t）的最大值为2，此时t=2k，kZ。评注：这是一道理解性的定义体型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像分析就不难了。例5（14闵行）对于函数f（x）=），（），（，，2x2xf212][0xxsin，有以下四个命题：数形结合10①任取2xfxf[0xx2121）（）（），都有，、恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（kN），对于一切x），[0恒成立；③函数y=f（x）-In（x-1）有3个零点；④对任意x0，不等式f（x）xk恒成立，则实数k的取值范围是），89[则其中所有命题的序号是答案：①、③解析：根据下图所示可知：②选项是k2，④选项反比例函数图像至少要满足点（21,25）上，此时，45k评注：数形结合的思想，国家题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图像尽量做到精确，才能避免差错3、与解析几何的综合运用：例1（14闸北）设曲线C：）（yx322yx22，则曲线C所围封闭图形的面积为答案：38332解析：因为图像关于x轴、y轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限x0，y0，绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于x轴、y轴对称翻折，如下图所示，根据题目数据，可得150ABC，AB=2，可以先算第一象限的面积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4，全面积为38332。数形结合11评注：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出方程图像，割补法求面积。变式由曲线yxyx22所围成的封闭图形的面积为答案：2+例2（14金