新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(3)双曲线的几何性质(2)(教师版)

1新课预习讲义选修2－1：第二章§2.3双曲线（三）§2.3.2双曲线的简单几何性质（2）●学习目标1.掌握直线与双曲线的位置关系．2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．3.了解双曲线的第二定义及其焦点弦、焦半径等问题.4.了解与双曲线有关的应用问题.●学习重点：直线与双曲线的位置关系及其弦长、中点等问题是本节的重点●学习难点1.双曲线的第二定义、焦半径公式及其应用.2.本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能出现.一、自学导航●知识回顾：复习1：说出双曲线的几何性质?复习2：怎样求已知双曲线的渐近线方程？已知双曲线的渐近线方程怎样求双曲线方程？●预习教材：第59页——第63页的内容。●自主梳理：1、预习教材P59例5.（1）结合椭圆的第二定义，归纳双曲线的第二定义（2）结合椭圆的焦半径公式，导出双曲线的焦半径公式2、预习教材P60例6，总结直线与双曲线的位置关系的相关问题●预习检测：1．过点P－1，－ba的直线l与双曲线x2a2－y2b2＝1有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实半轴长等于()A．2B．4C．1或2D．2或4解析：依题意知，过点P的直线l与双曲线相切或与双曲线的渐近线y＝－bax平行，所以a＝1或－ba－1＋a＝－ba，解得a＝1或a＝2.所以实半轴长等于1或2，故选C.2．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是()2解析：ax－y＋b＝0可化为y＝ax＋b，bx2＋ay2＝ab可化为x2a＋y2b＝1.若ab0，则A中曲线错误，B中曲线不存在．若ab0，则D中曲线错误，故选C.3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．解析：x2－y2＝6y＝kx＋2，x2－(kx＋2)2＝6，(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．则Δ＝40－24k20，x1＋x2＝4k1－k20，x1x2＝－101－k20.解得－153k－1.答案：－153，－14．已知双曲线x2－y23＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点．若P为AB的中点，(1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长．解析：(1)易知直线AB的斜率存在．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2－y2＝3，得3x21－y21＝3,3x22－y22＝3，两式相减得：3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，即y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝3.所以直线AB的斜率kAB＝y1－y2x1－x2＝3x1＋x2y1＋y2＝3×x1＋x22y1＋y22＝3×21＝6.所以直线AB的方程为6x－y－11＝0.(2)将y＝6x－11代入3x2－y2＝3，得33x2－132x＋124＝0.由弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]得|AB|＝1＋36×1322－4·33·124332，所以|AB|＝4332442.●问题与困惑：3二、互动探究●问题探究：探究1：由教材第59页例5，可导出以下结论：（1）双曲线的第二定义：若动点),(yxM与定点)0,(cF的距离和它到定直线caxl2:的距离的比是常数)1(ee，则动点M的轨迹是一个双曲线，即edMF（其中，d是双曲线上任意一点到双曲线的准线cax2的距离，e是双曲线的离心率.）（2）双曲线的准线方程：若焦点在x轴上，则左准线是cax2；右准线是cax2；（3）双曲线上任意一点),00yxM（的焦半径（其中，1F为左焦点，2F为右焦点）：aexMF＋01，aexMF02（注意：①动点到相应焦点的距离比上到相应准线的距离；②注意与椭圆的焦半径公式的不同.）探究2：由教材第60页例6，可导出直线与双曲线的位置关系.：（1）直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.（i）当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．(ii)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．（2）弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.●典例导析：题型一、直线与双曲线的位置关系例1、已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.4(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范围；(2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．[解题过程](1)联立方程组y＝kx－1，x2－y2＝4，消去y得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由题意得，此方程有两个不等的正根．∴4k2＋201－k20，－2k1－k20，－51－k20.即－52k52，k1或－1k0，k1或k－1.解得1k52.(2)由y＝kx－1x2－y2＝4得(1－k2)x2＋2kx－5＝0(*)易知此方程无解．由1－k2≠0Δ＝4k2＋201－k20得k52或k－52，则k的取值范围为k52或k－52.[题后感悟]直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．变式训练：1.已知双曲线x2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．解析：①当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0，即k＝±2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，所以k＝52.综上所述，当k＝52或k＝±2或斜率不存在时满足题意．题型二、弦长问题例2、过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1，作倾斜角为π6的弦AB，求|AB|的长．[思路点拨]写出直线方程，代入双曲线方程．消去y得x的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求得．[规范作答]双曲线焦点为F1(－2,0)、F2(2,0)，将直线AB的方程y＝33(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0.5设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∴x1＋x2＝12，x1x2＝－138.∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋13·122－4×－138＝3[题后感悟]如何求解与弦长有关的问题？(1)列直线方程与曲线方程构成的方程组；(2)化为一元二次方程后，据韦达定理求出x1＋x2，x1·x2的表达式；(3)据弦长公式|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]求解．变式训练：2.已知斜率为2的直线被双曲线x23－y22＝1所截得的弦长为4，求直线l的方程．解析：设直线l方程为y＝2x＋m设l与双曲线x23－y22＝1的交点为A(x1，y1)B(x2，y2)由x23－y22＝1y＝2x＋m得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0则x1＋x2＝－6m5，x1·x2＝3m2＋210|AB|＝1＋22[x1＋x22－4x1x2]＝5－6m52－4×3m2＋210＝4∴m2＝703，∴m＝±2103∴所求直线l的方程为y＝2x±2103.题型三、中点弦问题例3、已知双曲线方程为2x2－y2＝2.过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程．[思路点拨][解题过程]若直线斜率不存在，即P1P2⊥Ox，则由双曲线的对称性知弦P1P2中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l斜率存在．故可设直线l方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1.由2x2－y2＝2，y＝kx－2k＋1消y并化简，得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k2－3＝0.6设直线l与双曲线的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当2－k2≠0，即k2≠2时，有x1＋x2＝－2k2k－12－k2.又点P(2,1)是弦P1P2的中点，∴－2k2k－12－k2＝2，解得k＝4.当k＝4时，Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝56×50，当k2＝2，即k＝±2时，此时，与渐近线的斜率相等，即k＝±2的直线l与双曲线不可能有两个交点．综上所述，所求直线方程为y＝4x－7.[题后感悟]如何解决中点弦问题？(1)与弦中点有关的问题：①中点弦所在直线方程问题，如本例；②弦中点轨迹问题．(2)如何处理弦中点问题？①用待定系数法．设直线方程与双曲线方程，联立解方程组，化为一元二次方程后，据韦达定理(不需求出方程的根)，结合中点坐标公式，求出待定系数，这也是解决直线与曲线位置关系问题常用方法．②用“点差法”求斜率．即设该端点坐标，代入双曲线方程，通过作差，分解因式，结合中点坐标，可求斜率k＝y1－y2x1－x2.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法．求弦中点轨迹问题，此方法依然有效．(3)注意：待定系数法要考虑k不存在和k＝±2情况，用点差法求出了k，但要检验是否正确．变式训练：3.过点P(8,3)的直线与双曲线9x2－16y2＝144相交于A，B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．解析：设动点M(x，y)，弦AB端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x22＝x，y1＋y22＝y，即x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.且9x21－16y21＝144，9x22－16y22＝144.两式作差，得9(x21－x22)－16(y21－y22)＝0，∴9(x1＋x2)(x1－x2)－16(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①当x1≠x2时，9(x1＋x2)－16(y1＋y2)·y1－y2x1－x2＝0.又∵弦AB过点P(8,3)，且中点为M(x，y)．∴可得9×2x－16×2y·y－3x－8＝0.化简x－4212－y－322274＝1，②当x1＝x2时，弦AB中点M(8,0)满足方程要求．综上，弦AB中点M的轨迹方程为x－4212－y－322274＝17●直通高考题：1.►(2012年高考四川卷理科21)(本小题满分12分)如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点QR、，且||||PQPR，求||||PRPQ的取值范围.82.►已知椭圆22122:1(0)xyCabab＞＞与双曲线221:14yCx有公共的焦点，2C的一条渐近线与以1C的长轴为直径的圆相交于,AB两点，若1C恰好将线段AB三等分，则（A）2132a（B）213a（C）212b（D）22b【答案】C【解析】由双曲线422yx＝1知渐近线方程为xy2，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22xb＋225yb＝225bb，联立直线与椭圆方程消y得，20552222bbb