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12017年山东省泰安市高考数学一模试卷(文科)一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.已知复数z满足z•i=2﹣i(i为虚数单位),则在复平面内对应的点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A={x|x2+2x﹣3<0},B={x|0<x<3},则A∩B=()A.(0,1)B.(0,3)C.(﹣1,1)D.(﹣1,3)3.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题是真命题的是()A.若m∥α,m∥β,则α∥βB.若m∥α,α∥β,则m∥βC.若m⊂α,m⊥β,则α⊥βD.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β4.在区间[﹣1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A.B.C.D.5.执行如图所示的程序框图,则输出的s的值是()A.7B.6C.5D.36.在△ABC中,||=||,||=||=3,则=()A.3B.﹣3C.D.﹣7.某三棱锥的三视图如图所示,其侧(左)视图为直角三角形,则该三棱锥最长的棱长等于()2A.B.C.D.8.已知x,y满足约束条件,且z=2x+4y的最小值为2,则常数k=()A.2B.﹣2C.6D.39.将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位后,得到f(x)的图象,则()A.f(x)=﹣sin2xB.f(x)的图象关于x=﹣对称C.f()=D.f(x)的图象关于(,0)对称10.已知函数满足条件:对于∀x1∈R,且x1≠0,∃唯一的x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2).当f(2a)=f(3b)成立时,则实数a+b=()A.B.C.+3D.+3二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11.若双曲线的渐近线为,则双曲线C的离心率为.12.已知α为第四象限角,sinα+cosα=,则tanα的值为.13.观察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…根据上述规律,第n个等式为.14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g′(x)为g(x)的导函数,对∀x∈R,总有g′(x)>2x,则g(x)<x2+4的解集为.15.以下命题:①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件;②命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”3③对于命题p:∃x>0,使得x2+x+1<0,则¬p:∀x≤0,均有x2+x+1≥0④若p∨q为假命题,则p,q均为假命题其中正确命题的序号为(把所有正确命题的序号都填上).三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)已知函数f(x)=4cosxsin(x+)+m(m∈R),当x∈[0,]时,f(x)的最小值为﹣1.(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)在△ABC中,已知f(C)=1,AC=4,延长AB至D,使BC=BD,且AD=5,求△ACD的面积.17.(12分)某大学高等数学老师这学期分别用A、B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班(人数均为60人,入学数学平均分数和优秀率都相同;勤奋程度和自觉性都一样).现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩,得到茎叶图如图:(1)学校规定:成绩不得低于85分的为优秀,请填写如表的2×2列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?”甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考:P(k2≥k)0.150.100.050.250.100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)(2)现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.18.(12分)若数列{an}是公差为2的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=2且anbn+bn=nbn+1.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;4(2)设数列{cn}满足cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,则Tn<4.19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC、BD相交于点O,点E、F、G分别为PC、AD、PD的中点,OP=OA,PA⊥PD.求证:(1)FG∥平面BDE;(2)平面BDE⊥平面PCD.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(,1),过点A(0,1)的动直线l与椭圆C交于M、N两点,当直线l过椭圆C的左焦点时,直线l的斜率为.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在与点A不同的定点B,使得∠ABM=∠ABN恒成立?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.21.(14分)已知函数f(x)=xlnx+2,g(x)=x2﹣mx.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;(2)若存在x0∈[,e]使得mf′(x0)+g(x0)≥2x0+m成立,求实数m的取值范围.52017年山东省泰安市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.已知复数z满足z•i=2﹣i(i为虚数单位),则在复平面内对应的点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由z•i=2﹣i,得,然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,求出在复平面内对应的点的坐标,则答案可求.【解答】解:由z•i=2﹣i,得=,则,则在复平面内对应的点的坐标为:(﹣1,2),位于第二象限.故选:B.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.2.已知集合A={x|x2+2x﹣3<0},B={x|0<x<3},则A∩B=()A.(0,1)B.(0,3)C.(﹣1,1)D.(﹣1,3)【考点】交集及其运算.【分析】求出A中不等式的解集,找出A与B的交集即可.【解答】解:集合A={x|x2+2x﹣3<0}=(﹣3,1),B={x|0<x<3}=(0,3),则A∩B=(0,1),故选:A【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.3.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题是真命题的是()A.若m∥α,m∥β,则α∥βB.若m∥α,α∥β,则m∥βC.若m⊂α,m⊥β,则α⊥βD.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】在A中,α与β相交或平行;在B中,m∥β或m⊂β;在C中,由面面垂直的判定定6理得α⊥β;在D中,m⊥与β相交、平行或m⊂β.【解答】解:由m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知:在A中,若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故A错误;在B中,若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β,故B错误;在C中,若m⊂α,m⊥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故C正确;在D中,若m⊂α,α⊥β,则m⊥与β相交、平行或m⊂β,故D错误.故选:C.【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.4.在区间[﹣1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A.B.C.D.【考点】几何概型.【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件的k,最后根据几何概型的概率公式可求出所求.【解答】解:圆x2+y2=1的圆心为(0,0)圆心到直线y=k(x+3)的距离为要使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交,则<1,解得﹣<k<.∴在区间[﹣1,1]上随机取一个数k,使y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为=.故选:C.【点评】本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题.5.执行如图所示的程序框图,则输出的s的值是()7A.7B.6C.5D.3【考点】程序框图.【分析】模拟程序框图的运行过程,根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累加并输出S>5时的值.【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=1+02+12+22+…+(k﹣1)2的值S=1+02+12+22=6>5输出S=6.故选:B【点评】本题考查了根据流程图写出程序运行结果的问题,是基础题.6.在△ABC中,||=||,||=||=3,则=()A.3B.﹣3C.D.﹣【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意,画出图形,利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系,求出OC,得到△ABC的形状即可求得.【解答】解:由平面向量的平行四边形法则得到,在△ABC中,||=||,||=||=3,如图,设|OC|=x,则|OA|=x,所以|AO|2+|OC|2=|AC|2即3x2+x2=9,解得x=,8所以|BC|=3,所以△ABC为等边三角形,所以=3×3×=;故选:C.【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则,向量数量积的计算公式;关键是正确判断三角形的形状.7.某三棱锥的三视图如图所示,其侧(左)视图为直角三角形,则该三棱锥最长的棱长等于()A.B.C.D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据几何体的三视图,得:该几何体是底面为直角三角形,侧面垂直于底面,高为5的三棱锥,即可求得.【解答】解:根据几何体的三视图,得:该几何体是底面为直角三角形,侧面垂直于底面,高为5的三棱锥,棱锥最长的棱长等于=,故选C.9【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,比较基础8.已知x,y满足约束条件,且z=2x+4y的最小值为2,则常数k=()A.2B.﹣2C.6D.3【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程斜截式,由图得到可行域内的最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数后由z的值等于2求得k的值.【解答】解:由约束条件作可行域如图,图中以k=0为例,可行域为△ABC及其内部区域,当k<0,边界AC下移,当k>0时,边界AC上移,均为△ABC及其内部区域.由z=2x+4y,得直线方程y=﹣x+,由图可知,当直线y=﹣x+过可行域内的点A时,z最小.联立,得A(3,﹣k﹣3).∴zmin=2×3+4(﹣k﹣3)=﹣4k﹣6=2,解得k=﹣2.故选:B.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,体现了分类讨论的数学思想方法,是中档题.9.将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位后,得到f(x)的图象,则()A.f(x)=﹣sin2xB.f(x)的图象关于x=﹣对称C.f()=D.f(x)的图象关于(,0)对称10【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】利用诱导公式、y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,得出结论.【解答】解:将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位后,得到f(x)=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=﹣sin(2x+)的图象,故排除A;当x=﹣时,f(x)=1,为最大值,故f(x)的图象关于x=﹣对称,故B正确;f()=﹣sin=﹣sin=﹣,故排除C;当x=时,f(x)=﹣sin=﹣≠0,故f(x)的图象不关于(,0)对称,故D错误,故选:B.【点评】本题主要考查诱导公式的应用,利用了y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,属于基础题.10.已知函数满足条件:对于∀x1∈R,且x1≠0,∃唯一的x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2).当f(2a)=f(3b)成立时,则实数a+b=()A.B.C.+3D.+3【考点】分段函数的应用.【分析】根据条件得到f(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)上单调,得到a,b的关系进行求解即可.【解答】解:若对于∀x1∈R,存在唯一的x2∈R,使得f(x1)=f(x2).∴f(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)上单调,则b=3,且a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