排队论基础及模型(8)

1排队论教学目的：了解排队论的经济含义；排队系统的一般概念和简单的排队系统；了解排队问题的计算机仿真。2学习内容大纲内容知识要点基本概念排队系统泊松分布、负指数分布排队系统排队系统的一般指标排队模型的运用M/M/1、M/M/C排队问题的仿真Excel仿真3引导案例-1银行排队系统4引导案例-2医院排队系统5形形色色的排队系统达到的顾客要求服务的内容服务的机构出故障的机器修理技工病人电话呼叫进港货船入水库河水达到机场上空的飞机刑事案件达到路口的车辆来犯敌机修理领取修配零件诊断（或治疗）通话装（卸）货放水、调整水位降落侦破通过路口截击修理技工发放修配零件的管理员医生（或治疗设备）交换台装（卸）货码头（泊位）水闸、管理员跑道刑侦部门交通信号灯我防空部队6为什么会出现排队现象？假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每位顾客的平均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间隔时间正好是15分钟，而服务人员为每位顾客的服务时间也正好是15分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾客也根本用不着等待。在以下情况将出现排队现象：􀂄􀂄平均到达率高于平均服务率顾客到达的间隔时间不一样（随机）􀂄􀂄服务时间不一样（随机）顾客离开􀁺􀁺顾客顾客排队服务设施7到达数量时间普通能力排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或采用不同的设施布局和政策来影响顾客的到达时间和服务时间。81排队论的基本问题1.1排队论的主要研究内容数量指标研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统的基本运行特征。统计推断检验系统是否达到平稳状态；检验顾客达到间隔的独立性；确定服务时间分布及参数。系统优化系统的最优设计和最优运营问题。91.2排队论的经济含义排队问题的核心问题实际上就是对不同因素做权衡决策。管理者必须衡量为提供更快捷的服务（如更多的车道、额外的降落跑道、更多的收银台）而增加的成本和相应的等待造成的费用之间的关系。10服务成本与等待成本的权衡（成本－效益平衡）总成本成本最佳能力等待成本服务成本最小值排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本这两项成本之和最小112排队论概述2.1基本概念概念在队列中，等待服务的顾客（customer）和服务台（server）就构成了一个排队系统（queuingsystem）。本质研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率问题。总体目标以最少的服务台满足最多的客户需求。122.2排队系统的一般形式排队可以是有形的队列，也可以是无形的队列。排队可以是人，也可以是物。顾客源排队结构服务机构顾客到来排队规则服务规则顾客离去服务系统133排队问题的特征总体来源到达与服务模式排队纪律（服务顺序）服务员数量（通道）14有限顾客源例如：公司只有三台机器时，需要维修的数量潜在顾客数量无限顾客源例如：排队等候公共汽车的乘客人数3.1总体来源分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量是否有限。本章讨论的重点153.2顾客到达与服务模式常用的模型假定顾客到达速度服从泊松分布，服务时间服从指数分布。163.2.1泊松分布定义：设N（t）为时间[0，t]内达到系统的顾客数，如果满足下面三个条件：平稳性：在[t，t+△t]内有一个顾客达到的概率与t无关；独立性：在任意两个不相交时间区间内顾客达到相互独立；普通性：在[t，t+△t]内多于一个顾客达到的概率极小，为(△t)，可以忽略。则称｛N（t），t≥0｝为Poisson过程，其对应的分布为泊松分布（Poisson分布）。17泊松分布的形式相对频度01234567891011120.200.180.160.140.120.100.080.060.040.020.00泊松分布（比率）每单位时间顾客数图泊松分布18泊松分布的概率密度函数()()!nTTTePnnTn：单位时间段；:到达率：单位时间段内到达的人数如果一个系统的平均到达率是每分钟有3个顾客到达（=3），求1分钟内有5个人到达的概率(5,1)nT5315331(31)3(5)2.0250.1015!120eePe193.2.2指数分布当顾客以完全随机的方式到达服务实施时，相邻到达间隔时间服从指数分布，但平均到达率不变；随机服务时间服从指数分布，但平均服务率不变；20（负）指数分布的形式图负指数分布指数分布（时间）相对频率％0时间21（负）指数分布的概率密度函数λtf(t)λet：单位时间段内到达的顾客数量：时间间隔22（1）（2）（3）t（分钟）下一个顾客在大于等于t分钟内到达的概率下一个顾客在小于等于t分钟内到达的概率01.0000.50.610.391.00.370.631.50.220.782.00.140.861备注：设＝表下一个到达的顾客的时间间隔的概率233.2.3泊松分布和指数分布的关系泊松分布与指数分布可以互相推导得到。泊松分布的期望值和方差相等，都为；指数分布期望值为1/,方差为1/2。相邻顾客到达时间间隔服从指数分布，单位时间段内到达的顾客数服从泊松分布。243.3排队纪律/排队规则/服务顺序排队规则的3种类型损失制等待制排队规则混合制25等待制的四种类型等待制最短处理时间SPT随机服务RS后到先服务LCFS先到先服务FCFS263.4服务员数量排队系统中的常见变形Titleinhere多通道单阶段Titleinhere单通道多阶段Titleinhere单通道单阶段Titleinhere多通道多阶段排队系统27排队系统的四种变形-1单通道多阶段服务台单通道，单阶段排队单通道、单阶段排队系统单通道、多阶段排队系统排队服务台服务台28多通道单阶段多通道多阶段多通道、单阶段排队系统多通道、多阶段排队系统排队系统的四种变形-2294排队模型4.1排队问题的一般表达方式一般形式：X/Y/CX—顾客相继达到时间间隔的概率分布；Y—服务时间的概率分布；C—服务台的个数；304.2一些特殊排队模型模型分布服务阶段顾客源到达分布排队规则服务时间分布队列长度典型例子模型表示1单通道单一无限泊松FCFS指数无限只有一个出口的收费桥M/M/12单通道单一无限泊松FCFS常数无限游乐园的过山车M/G/13多通道单一无限泊松FCFS指数无限银行柜台服务M/M/C4多通道单一有限泊松FCFS指数无限工厂里故障机器的维修指数分布常数分布314.3模型符号定义（无限顾客源）符号代表顾客到达速度（到达率）；1/代表相邻到达平均时间间隔µ,u服务速度（服务率）；1/µ代表平均服务时间ρ系统利用率，即到达率与服务率的比值Lq等候服务的顾客平均数Ls系统中的顾客平均数（正在等候的＋正在接受服务的）Wq顾客排队等候的平均时间Ws顾客在系统中花费的平均时间（排队等候时间＋服务时间）r正在接受服务的顾客平均数n系统中的平均顾客数C服务台（通道）数量P0系统0个顾客概率Pn系统有n个顾客的概率Lmax队列中等候的最大期望值32系统利用率正在接受服务的顾客平均数系统中的平均顾客数系统中等待的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间rssLWuqsqsLLWLr1LqWqWsu1LsWsu4.4模型参数计算-1（M/M/1）01P(1)(1)nnPn33三种重要的关系“管道原理”:稳定系统中平均输出=平均输入（率）=时间的可加性在系统中逗留的时间等于服务时间加排队利特尔法则1WsWqussLWqqLWLW344.4模型参数计算-2（M/G/1）系统利用率正在接受服务的顾客平均数系统中等待的平均顾客数系统中的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间1CC，LsLqr22()qLuuLqWqLsWsr常数服务时间能将系统的平均顾客数砍掉一半354.4模型参数计算-3（M/M/C）-1系统利用率正在接受服务的顾客平均数系统中等待的平均顾客数系统中的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间CLsLqr02!(1)cqrLpcLqWqLsWsr364.4模型参数计算-3（M/M/C）-21100!!(1)nccnrrPncnP0!nrpn(0)nc01!nncrpccg()nc37例1一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从负指数分布，平均到达2艘/小时；服务台是1台吊车，卸货时间服从负指数分布，平均每20分钟可卸一艘货船，当被占用时，新到货船只能停在码头等待。求在平稳状态下码头上货船的平均数；等待卸货船只的平均数；每艘货船在码头的平均停留时间；货船平均需等待多长时间可以开始卸货。38解：这是一个典型的M/M/1排队问题213r260320u22()32sLu艘24233qsLLr(艘)423()23LqWq小时21()2LsWs小时39例2某医院手术室根据病人就诊和完成手术时间的记录，任意抽查100个工作小时，每小时来就诊的病人数n的出现次数如表6所示。又任意抽查了100个完成手术的病例，所用时间t出现的次数如下表所示。试分别用公式、excel和仿真求解：40到达病人数n出现次数fn01012822931641056≥61合计100到达病人数为病人完成手术时间t/小时出现次数ft0.0~0.2380.2~0.4250.4~0.6170.6~1.890.8~1.061.0~1.251.20合计100手术时间41解：这也是一个M/M/1排队问题（1）计算平均到达率2.1(/)100nnf人时平均手术时间0.4()100ttfT时/人平均服务率12.5()0.4u人/时42（2）取=2.1，=2.5，通过统计检验方法认为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数为2.5的指数分布。（3）服务设备利用率2.10.842.5这说明服务机构（手术室）有84%的时间是繁忙的（被利用），有16%的时间是空闲的。430.84ru2.12.5u2.15.25()2.52.1sLu人5.250.844.41qsLLr(人)4.412.1()2.1LqWq小时5.252.5()2.1LsWs小时（4）依次带入公式，算出各指标得：44单通道仿真视频45排队系统仿真软件Flexsim-1Flexsim是建立在系统理论、控制理论、数理统计、信息技术和计算机技术等理论基础之上的仿真软件，它是系统模型规范化和数字化相结合的过程。46排队系统仿真软件Flexsim-2Flexsim在排队系统中的应用主要是利用仿真模型来研究排队系统，首先通过仿真模型的运行，便于更好的观测排队系统过程中出现的一系列复杂变化和动态过程；其次通过仿真模型稳定后的相关值与排队系统理论值的比较，得出他们的值正好相等。Flexsim在排队系统中的应用有助于我们进一步理解排队系统的相关概念和加深对排队系统的全面认识，从而对改进排队系统做出正确的举措。47单通道Excel求解48例3-1Robot公司在全美经营把加油和汽车冲洗合并在一起的业务。Robot公司对加满油的车辆提供免费冲洗，对于不加油只冲洗的车收费0.5美元。以往的经验表明：加油并且洗车的顾客数和单独洗车的顾客数大致相等。平均加一次油可盈利0.7美元，洗一次车的成本是0.1美元，公司每天营业14小时。Robot有三档功率和清洗组合不同的设备。选择I档功率时，可以每5分钟洗1辆车，每天的成本是12美元。II档功率高于I档，每4分钟洗1辆车，但每天的成本是16美元；选择III档功率时，每洗1辆车需3分钟，但每天的成本是22美元。49例3-2Robot公司估计，每个顾客洗1辆车不愿等待的时间不超过5分钟，若等待的时间过长，公