专升本辅导-第6讲定积分及其应用-文档资料

一、复习要求（1）理解定积分的概念与几何意义．（2）掌握定积分的基本性质．（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法．（4）掌握牛顿—莱布尼茨公式．（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法．（6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法．（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积．（8）会用定积分求沿直线运动时变力所作的功．第6讲定积分及其应用(),()xyxy,ycydb．由曲线及直线所围成二、内容提要1．定积分概念()yfx,xaxbx（1）曲边梯形的概念：在直角坐标系中，由曲线，直线及的平面图形有以下两类，它可以看做是由两个曲边梯形所夹．轴所围成的图形，叫做曲边梯形．常见(),()yfxygx,xaxb及直线a．由曲线所围成()fx],[babxxxxann110],[ba1[,](1,2,,)iixxin1iiixxx1[,]iixx1iiixx()(1,2,,)iifxin1()nniiiSfx（2）定积分的定义：如果函数在区间上有定义，用点将区间分成n个小区间其长度为，在每个小区间上任取一点，则乘积称为积分元素，其总和称为积分和．()bafxdx记为01()lim()nbiiaxifxdxfx即为积分区间，()fx()fxdxx],[baab其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分下限，为积分上限．nS在区间的取法无关，则称函数中最大者nix0(max)ixxx],[bai()fx],[ba()fx],[ba如果当无限增大，而时，总和的极限存在，且此极限与的分法以及并将此极限值称为函数在区间上是可积的，上的定积分，（3）定积分上下限互换时，定积分变号而绝对值不变，ab()0abfxdx当时，说明：（1）定积分作为一个和式的极限，是个数值，它的大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关．（2）被积函数()fx],[ba()fx在积分区间必要条件，被积函数上有界，是可积的在积分区间上连续是可积的充分条件．初等函数在其定义区间上一定可积．()()baabfxdxfxdx即[()()]()()]bbbaaafxgxdxfxdxgxdx（1）代数和的积分的等于积分的代数和，即()()bbaakfxdxkfxdx为常数）（k（2）常数因子可以提到积分号前面，即2．定积分的基本性质()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx之间时，等式仍然成立．不介于,ab当c()()bbaafxdxgxdx],[ba[,]ac[,]cb（3）如果积分区间被点分成两个小区间与，则()()fxgx（4）若在积分区间上总有，则()()()bambafxdxMba()()()bafxdxfba(,)ab()fx],[baM（5）若函数在积分区间上有最大值和最小值m，则有，使有内至少存在一点()fx],[ba(,)ab（6）若函数在上连续则在区间的值，即它对变上限的导数，等于被积函数在上限xx()[()]()xaPxftdtfx3．牛顿—莱布尼兹公式()fx[,]ab（2）原函数存在定理：若在上连续，则()()xaPxftdt()fx[,]ab是函数在区间上的一个原函数．()()xaPxftdtx是变上限（1）变上限定积分的函数，()()()()|bbaafxdxFbFaFx（3）牛顿—莱布尼兹公式：()fx[,]ab在上连续，且()Fx()fx是的一个原函数，则若函数()[()]()bafxdxfttdt4．定积分的换元积分法和分部积分法()xt上连续，令，如果b．当t()t()a从变到时，从单调地变到()b，则有()fx[,]ab在区间（1）定积分的换元积分公式：设函数()t[,][,]()t在区间或上有连续导数a．0()2()aaafxdxfxdx()0aafxdx（2）奇（偶）函数在对称积分区间上的定积分计算法则：()fxb．若是奇函数，则()fx是偶函数，则a．若()()()()|()()bbbaaauxvxdxuxvxvxuxdx()ux()vx（3）定积分的分部积分公式：设函数和[,]ab在上有连续导数，则|bbbaaaudvuvvdu或记为()fx积分区间为无限的广义积分：设函数在区间()lim()baabfxdxfxdx则定义()fx[,)a为在上的广义积分．此时，称广义积分()afxdx存在或收敛，否则称广义积分()afxdx发散或不存在．5．广义积分[,)alim()()babfxdxab上连续，如果极限存在，()lim()bbafxdxfxdx()()()ccfxdxfxdxfxdxlim()lim()cbacabfxdxfxdx同样，可定义：(,)c其中1lim(ln|)bbx1ln|x有时为了书写方便，可省去极限符号，如可简写成11()dxx11根据定义可知：当时收敛，当时发散．[()()]basfxgxdx()fx()gx（1）平面图形的面积．设函数和[,]ab()()fxgx在上连续，且，则由曲线平面图形的面积为6．定积分的应用()yfx()ygx,xaxb和直线所围成的[()()]dcsyydy()xy()xy[,]cd函数和在上连续，且()()yy()xy()xy，则由曲线和直线,ycyd所围成的平面图形的面积为2[()]bxavfxdx2[()]dycvydy()yfx（2）旋转体的体积．设一立体是以连续曲线，直线的旋转体，则其体积为轴所围与y()xy,()ycydcd由连续曲线，直线成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积为,()xaxbabx及轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成三、例题及说明20sin(sin)Sxdxxdx（2）002sin2cos|4Sxdx或2200sincos|0xdxx解（1）20sinxdx和轴所围成的区域的面积S．sin,02yxxx（2）求由曲线例1（1）求1．基本概念20cos|cos|xx4120(22)xxdx210xxedx1220211xdxx11ln()exdxxx022sinxdx例2求（1）（2）（3）（4）（5）1220(21arcsin)|xx120(22)xxdx解（1）210xxedx（2）1220211xdxx（3）31012(2)|3ln2xxx713ln2212012xedx2101|2xe1(1)2e112222002111xdxdxxx23611ln()exdxxx（4）022sinxdx（5）111lnlneedxxdxx211(lnln)|2exx32021(1cos2)2xdx0211(sin2)|22xx4|bbbaaauvdxuvvudx2．定积分的分部积分法|bbbaaaudvuvvdu或220cosxxdx120ln(1)xxdx2130xxedx例1求（1）（2）（3）定积分的分部积分公式为22220001111|(sin2)|sin24222xxxxdx22010cos2|8x2130xxedx解（1）220cosxxdx（2）2122012xxedx22211001[()||]2xxxee12201(1cos2)2xxdx220011cos222xdxxxdx2120ln(12)1xdxxln(12)21120ln(1)xxdx（3）122012(1)121xxdxxxx210ln(12)1|x210ln(1)|xxx3．定积分的换元法301xdxx2212221dxxxln201xedx例1（1）（2）（3）301xdxx22112ttdtt1tx解（1）设21,2xtdxtdt，则3x2t0x1t且当时，当时2212(1)tdt3212[2]3tt832212221dxxx426cossincostdtttsinxt（2）设cosdxtdt，则22x4t12x6t且当时，当时（由单值性也可取34526cossincostdttt则原式246csctdt46cot|t313456cott|3122x34t12x56t时，当时）当ln201xedx212021tdtt1xte（3）设222ln(1),1txtdxdtt，则0x0tln2x1t且当时，当时12012(1)1dtt102(arctan)|tt2212111adtt0a112211111aadxdxxx例2证明对，有1xt证设21dxdtt，则1x1txa1ta且当时，当时112211()11()adttt等式左边11211adtt12111adxx4．分段函数的积分21()51xxfxx20()fxdx31|2|xdx/4/21(1cos2)2xdx，求（2）求（3）求例1（1）120125xdxdx2312(2)(2)xdxxdx22231211[2][2]22xxxx/4/2|sin|xdx0/4/20(sin)sinxdxxdx20()fxdx解（1）31|2|xdx（2）/4/21(1cos2)2xdx（3）21201|5|xx15622252cossinxxedxxdxexdx2(cossin)xxexexdx2||2(||)xxxedx例1求（1）（2）解（1）原式第二个被积函数是偶函数，第三个被积函数是奇函数．22||||22||xxxedxxedx（2）原式前者被积函数是偶函数，后者被积函数是奇函数，5．奇、偶函数在对称区间[,]aa上的积分02cos0xedxxdxee原式22200202[]26xxxxedxxeee原式2222()[ln][ln][ln][ln]axxxxaaaxttdtttdtttdtttdt222ln22ln2xxxxx()x例1求1()lnxxttdtcos1()lnxxttdt22()lnxxxttdt设（1）（2）（3）1()[ln]lnxxttdtxx解（1）cos1()[ln]coslncos(sin)xxttdtxxx（2）（3）6．变上限积分及其对上限的导数1()()()00()bbbababftdtdtftdtft1()()0()xfxfx又上单调增加，所以方程[,]ab()x在即1()()()xxabxftdtdtft()0x[,]ab()0fxab例2设连续，证明方程上有且只有一个根．在11()()00