第5章结构位移计算

结构力学StructuralMechanics主讲：姚金阶三峡大学水环学院工程力学系第5章结构位移的计算5.1概述一、结构的位移1、线位移结构在外部因素作用下，将产生尺寸形状的改变，这种改变称为变形；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。（1）水平线位移：H（2）铅直线位移：V2、角位移：cC’CHCVC3、“相对位移”与“绝对位移”BAABBAABAppABABBABppcC’第5章2、计算超静定结构必须考虑位移条件。4、上述各种位移统称为“广义位移”。与广义位移相对应的力称为“广义力”。1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度fmax≤l/600。二、计算结构位移的目的3、施工技术的需要。CVccP/2PPPPPP/2第5章4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。PPBA三、计算位移的有关假定3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。第5章5.2虚功原理与位移计算一般公式一、基本概念1、功：一般来说，力所作的功指力与力方向上位移乘积，大小与作用点移动路线的形状、路程的长短有关。dsdsPCOSPdWWSS),(或：dsPw2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。PW21实功的计算式：第5章PT21P当静力加载时，即：P由0增加至PΔ由0增加至Δ实功计算公式位移荷载oABpypdydpy2100pdypydWW第5章3、虚功：当位移与作功的力无关时，且在作功的过程中，力的大小保持不变，这样的功称为虚功。PWCOSD式中为总位移D在力P方向的投影。虚功的计算式为：4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：PAAD（2）虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，它应满足变形协调条件。（1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，它应满足静力平衡条件。第5章实功：虚功：虚功强调作功的力与位移无关。FP1FP212δ11δ21δ12δ221/2FP1δ111/2FP2δ22FP1δ12FP2δ21设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。W=Wi二、变形杆件体系的虚功方程虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。其具体表达式为：当所研究的体系为刚体时，虚功方程则简化为：W=0第5章变形体系虚功方程具体形式：ds1C2C()ws123第二状态（给定位移和变形）1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）外力虚功：1122331122()()()()PPPRRPiiRKKiKWqswsdsFFFFCFCWqswsdsFFCMMQFQFNFNFsddsddsds0dds0γddsdds微段ds的内虚功dWi：00()iQNQNQNdWMdFdFdMdsFdsFdsMFFds整根杆件的内虚功：0()iiQNWdWMFFds根据虚功方程W=Wi，所以有：0()()()PiiRKKiKQNqswsdsFFCMFFds结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：0()()()PiiRKKiKQNqswsdsFFCMFFds说明：1）只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。2）上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。3）考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。三、结构位移计算的一般公式单位荷载法1虚功方程的意义及应用1）意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的乘积。2）虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功，以计算结构的未知力（如支座反力等）。3）虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功，以计算结构的未知位移（如挠度、转角等）。第5章0()()()PiiRKKiKQNqswsdsFFCMFFds1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。对上述两种状态应用虚功原理：即：dsFFdsMCFNQkRKcv)(102、单位荷载法▲▲▲第5章2、计算结构位移的一般公式（欲求ΔCV）ABCPFcvcucABC1PFMMdsNFNFQFQF1RF2RF给定位移、变形虚设平衡力系kRKNQcvCFdsFFM)(05.3荷载作用下静定结构的位移计算一、位移计算公式的建立根据材力公式：EIMPGAFkPQ0EAFPNdsEAFFdsGAFFkdsEIMMNPNPQQPcv于是：0kC因无支座移动：第5章kRKNQcvCFdsFFdsM)(0求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。二、如何施加单位荷载（求线位移、角位移、相对位移）第5章(g)求φAB1/lB1/lABACP=1（a）求ΔBHACP=1B（b）求ΔCVBACM=1（c）求φCAP=1B（d）求ΔABP=1AP=1B（e）求ΔABP=1(f)求φCM=1CPP=1例1：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。解：1）虚拟单位荷载cosFQsinFNsinRMcosPFQPsinPFNPsinPRMP虚拟荷载下内力3）位移公式为QNMPPPGAdsFQFQEAdsFNFNEIdsMMGAPREAPREIPR4443pppds=Rdθθdθds钢筋混凝土结构G≈0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2MNARI2412MQRhGAREI可见细长杆剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载下内力dGAPRdEAPREIPRcossin20203pp22h101R如2121Rh三、位移计算公式的简化1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：2、桁架（只考虑轴力影响）：dsEIMMPdsEAFFPNN第5章EAlFFPNN3、拱：一般只考虑弯曲变形4、组合结构：dsEIMMPdsEAFFdsEIMMPNNP第5章对扁拱（压力线与拱轴接近）：dsEAFFdsEIMMPNNP例2试求图示刚架A点的竖向位移AV。各杆材料相同，截面抗弯模量为EI。第5章解：（1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出弯矩表达式（2）荷载作用下（图1）的弯矩表达式AB段：1xMBC段：lMAB段：221qxMPBC段：22qlMP（3）将以上弯矩表达式代入求位移公式)(85)2)((1)2)((1402210211EIqldxqllEIdxqxxEIdsEIMMllPAV第5章(KN)FPN例题3试求图示桁架C点的竖向位移CV。各杆材料相同。236m103AKN,102E第5章NF（3）将FN、FNP代入求位移公式解：（1）在C点加一单位力，作出单位力作用下的桁架内力图（右图）（2）作出荷载作用下的桁架内力图（左图）(2)]20)(1)()5((22.36)(1.12))5((22.36)(1.49)(3)10)(0.67)[(EA1)0.03m(EA190.59第5章EAlFFPNN练习题：试求图示连续梁C点的竖向位移CV和A截面的转角θA,截面抗弯模量为EI。PCBAl/2l/2答案：)(483EIplcv)(162EIplACBAl/2l/2M答案：)(162EIMlcv)(3EIMlA(1)(2)第5章本节重点：dsEIMMP1EAlFFPNN1kRKcvCF1本节习题：5-25-85-105.5图乘法▲▲▲▲▲一、图乘法应满足的条件1、杆件为等截面直杆。3、MK、MP图形中至少有一个为直线图形。2、EI为常数。第5章dsEIMMPkidsEIMMkiCEIdxMMEI1PEIydxEIMM0wyEI01w×xtgEI01wBAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直线kidxEIMM直杆αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ωy0=x0tgα二、图乘公式推导BAkdxxMMK对y轴的静矩。28说明：1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。2）y0与ω的取值：y0一定取自直线图形，ω则取自另一个图形，且取ω的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0与ω在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0ω取正号；若y0与ω不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0ω取负号。EIy0w29三、常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线h23lhwωl二次抛物线hω二次抛物线3l/4l/4hωlh31w5l/83l/8二次抛物线hlh32wω↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qllEIEIA例1求A点水平及垂直位移22qlMPP=1lMEIqlqllEIHA4221422P=1lMEIqlllqlllqlEIVA8524323114228.214.0arctanarctan673.0422VAHAVAHAAEIqlA解1（1）绘出荷载作用下的弯矩图（Mp图）（2）为求C点的竖向位移，在C处加一单位力，绘出（Mk1图）（Mp图）（Mk1图）)(0924.013860mEIlPKCVEIdsEIMM)]300()66()26()45632()33002()266[(1例题2试求左图所示刚架C点的竖向位移CV和转角C。各杆材料相同，截面抗弯模量为:25105.1mKNEI第5章（2）为求C点的转角，在C处加一单位力偶，绘出（Mk2图）（Mp图）（Mk2图）).(0168.02520)]1()6300()1()45632()1()26300[(1radEIEIC第5章四、使用乘法时应注意的问题1、yo必须取自直线图形MK图MP图ωyo01yωEIΔ第5章MK图MP图ω1y1)(12211yωyωEIΔ2、当MK为折线图形时，必须分段计算；ω2y2第5章MK图MP图ω1y122211111yωEIyωEIΔ3、当杆件为变截面时亦应分段计算；ω2y21EI1EI2EI2EI第5章4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧时，取负号。MK图MP图ωPyo01yωEIΔPωPyo01yωEIΔP第5章MK图MP图ω1y1221111yωEIyωEIΔω2y25、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；第5章MK图MP图)()(1432211yyωyyωEIΔ6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。y1y2ω1y3y4ω2abcdl)22(61)323(2)332(21bcadcdaclEIdcbldcalEIΔ