高中数学圆的方程典型例题---学生版

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax．∵圆心在0y上，故0b．∴圆的方程为222)(ryax．又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点．∴22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r．所以所求圆的方程为20)1(22yx．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx．又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C∴半径204)11(22ACr．故所求圆的方程为20)1(22yx．又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22．∴点P在圆外．例2求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：．圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC．又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734CA或134CA．(1)当)4,(1aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故可得1022a．∴所求圆方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．(2)当)4,(2aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故622a．∴所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx．例3求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．解：∵圆和直线02yx与02yx相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等．∴5252yxyx．∴两直线交角的平分线方程是03yx或03yx．又∵圆过点)5,0(A，∴圆心C只能在直线03yx上．设圆心)3,(ttC∵C到直线02yx的距离等于AC，∴22)53(532tttt．化简整理得0562tt．解得：1t或5t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程．解法一：设圆心为),(baP，半径为r．则P到x轴、y轴的距离分别为b和a．由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为r2．∴222br又圆截y轴所得弦长为2．∴122ar．又∵),(baP到直线02yx的距离为52bad∴2225badabba4422)(242222baba1222ab当且仅当ba时取“=”号，此时55mind．这时有1222abba∴11ba或11ba又2222br故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx解法二：同解法一，得52bad．∴dba52．∴2225544dbdba．将1222ba代入上式得：01554222dbdb．上述方程有实根，故0)15(82d，∴55d．将55d代入方程得1b．又1222ab∴1a．由12ba知a、b同号．故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线．解：∵点42，P不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为42xky根据rd∴21422kk解得43k所以4243xy即01043yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2x．例6两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyExDyx①0202022020FyExDyx②①－②得：0)()(21021021FFyEExDD．∵A、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD．∴方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程．又过A、B两点的直线是唯一的．∴两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD．例7、过圆122yx外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。练习：1．求过点(3,1)M，且与圆22(1)4xy相切的直线l的方程．2、过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为3、已知直线0125ayx与圆0222yxx相切，则a的值为.类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长.例9、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆0222yxyx和522yx的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323yx和圆422yx，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.例13圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r．设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123dr．∴与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043myx，则1431122md，∴511m，即6m，或16m，也即06431yxl：，或016432yxl：．设圆9)3()3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d．∴1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点．即符合题意的点共3个．练习1：直线1yx与圆)0(0222aayyx没有公共点，则a的取值范围是练习2：若直线2kxy与圆1)3()2(22yx有两个不同的交点，则k的取值范围是.3、圆034222yxyx上到直线01yx的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4、过点43，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆42122yxC：有公共点，如图所示．类型五：圆与圆的位置关系例14、判断圆02662:221yxyxC与圆0424:222yxyxC的位置关系，PEOyx例15：圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有条。解：∵圆1)1(22yx的圆心为)0,1(1O，半径11r，圆4)2(22yx的圆心为)2,0(2O，半径22r，∴1,3,5122121rrrrOO.∵212112rrOOrr，∴两圆相交.共有2条公切线。练习1：若圆042222mmxyx与圆08442222mmyxyx相切，则实数m的取值集合是.2：求与圆522yx外切于点)2,1(P，且半径为52的圆的方程.类型六：圆中的对称问题例16、圆222690xyxy关于直线250xy对称的圆的方程是类型七：圆中的最值问题例18：圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是例19(1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd的最大、最小值．练习：1：已知点),(yxP在圆1)1(22yx上运动.（1）求21xy的最大值与最小值；（2）求yx2的最大值与最小值.2设点),(yxP是圆122yx是任一点，求12xyu的取值范围．八：轨迹问题例21已知点M与两个定点)0,0(O，)0,3(A的距离的比为21，求点M的轨迹方程.例22、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆4)1(22yx上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.类型九：圆的综合应用例25、已知圆0622myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值．分析：设P、Q两点的坐标为),(11yx、),(22yx，则由1OQOPkk，可得02121yyxx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为xy，由直线l与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQOPkk的值，从而使问题得以解决．解法一：设点P、Q的坐标为),(11yx、),(22yx．一方面，由OQOP，得1OQOPkk，即12211xyxy，也即：02121yyxx．①另一方面，),(11yx、),(22yx是方程组0603222myxyxyx的实数解，即1x、2x是方程02741052mxx②的两个根．∴221xx，527421mxx．③又P、Q在直线032yx上，∴])(39[41)3(21)3(2121212121xxxxxxyy．将③代入，得51221myy．④将③、④代入①，解得3m，代入方程②，检验0成立，∴3m．解法二：由直线方程可得yx23，代入圆的方程0622myxyx，有0)2(9)6)(2(31222yxmyxyxyx，整理，得0)274()3(4)12(22ymxymxm．由于0x，故可得012)3(4))(274(2mxymxym．∴OPk，OQk是上述方程两根．故1OQOPkk．得127412mm，解得3m．经检验可知3m为所求．