第三章-立体的投影

第三章立体的投影§3.1平面立体§3.2平面与平面立体表面相交§3.3曲面立体§3.4平面与曲面立体表面相交§3.5两立体表面相交基本要求1.掌握平面立体的投影特性和作图方法2.掌握在平面立体表面上取点取线的方法§3.1平面立体常见的基本体平面立体曲面立体(回转体)平面立体：由若干平面所围成的基本体，如棱柱、棱锥等。平面立体侧表面的交线称为侧棱。若平面立体所有侧棱互相平行，上下底面互相平行称为棱柱。若平面立体所有侧棱交于一点，称为棱椎。棱柱棱锥当轮廓线的投影可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线重合时，画粗实线。画立体的投影绘制表面绘制边和顶点的投影小小规定一、棱柱1.棱柱的组成由两个底面和几个侧面组成。侧面与侧面的交线叫侧棱，侧棱相互平行。2.棱柱的投影在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在水平投影中反映实形。前后两侧面是正平面，其余四个侧面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。正面投影水平投影侧面投影六棱柱的投影a(a)3.棱柱表面上取点(b')bbc'cc3'2'1'2(1)3123六棱柱表面取线二、棱锥1.棱锥的组成由一个底面和几个棱面组成，侧棱相交于一点。2.棱锥的投影在图示位置时，三棱锥的底面为水平面，在水平投影中反映实形。左右棱面都是一般位置平面，后棱面是侧垂面，它的侧面投影积聚成直线。ssbacabca(c)bsASBC三棱锥的投影画法BCAS三棱锥的投影R111rrⅠ3.三棱锥表面上取点Ⅰ222Ⅱ三棱锥表面上取点Ⅱ3Ⅲ（3）3三棱锥表面上取点Ⅲ[例题1]求立体的侧面投影3.2平面与平面立体表面相交＇＇＇＇＇＇＇〃〃〃〃〃〃〃357642176543216(7)4(5)2(3)1ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ用平面与立体相交，截去体的一部分——截切。用以截切立体的平面——截平面。截平面与立体表面的交线——截交线。2)截交线的形状由直线围成的封闭的平面多边形。3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边是截平面与立体表面上不同平面的交线。一、截交线的性质：1)截交线既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面的共有线。二、截交线的求法求各棱线与截平面的交点，然后依次连接。求截交线的步骤：分析截平面与立体的相对位置:确定截交线的形状分析截平面与投影面的相对位置:确定截交线的投影特性1.空间分析3.画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。2.投影分析4.检查、描深[例题1]四棱锥被正垂面P切割，求截切后的三面投影。321(4)1●2●4●3●1●2●4●3●sssⅠⅡⅢⅣ解题步骤1.空间分析：截平面与四条侧棱均相交，因此截交线是一个四边形。2.投影分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；3.求截交线：求出截交线上的点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；4.顺次地连接各点，作出截交线，补全棱线的投影，并且判别可见性；5.检查、描深。PⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ[例题2]求出图中六棱柱被切割后的三面投影。1'2'(7')3'(6')4'(5')45112772366354ⅦⅥⅤⅣⅢⅡⅠ1yyyy1444'232'(3')1'32[例题3]求立体切割后的三面投影。ⅠⅡⅢⅣP'Q'431265ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ165234145(6)(2)(3)[例题4]补全平面立体切割后的三面投影。[例题5]求立体切割后的投影。23541116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4(5)2(3)sabcs′a′b′c′b″a″=c″s″[例题6]求三棱锥被穿孔后的三面投影。6'5'4'3'2'1'(7')(8')(10')(9')2(5)156612337(8)(4)41098710(9)a″(c″)1(8)8[例题7]求八棱柱被平面P截切后的水平投影。P截交线的形状？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ154328762(3)(6)(7)4(5)求截交线1547632[例题7]求八棱柱被平面P截切后的水平投影。ss′c′cbb′a′c″b″as″a″=[例题8]求立体切割后的三面投影。ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ1'6'3'(4')2'5'1122334(4)5566ⅠⅡⅢⅣ练习1：补全四棱锥截切后的三面投影。练习2：补全切割穿孔后平面立体的三面投影。练习3：补全切割穿孔后平面立体的三面投影。练习4：已知立体的V、W投影，试求其H投影。练习5:已知两面投影，求第三面投影。＇＇＇＇〃〃〃〃432143213(4)1(2)ⅠⅡⅢⅣ″″″″″″″″″″57131092(8)4(6)10(9)′′1095(7)6(8)4(2)3(1)′′′′′′′′7(8)5(6)3(4)1(2)曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为回转体。一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母线在回转面上的任意位置称为素线。零件上常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球。3.3曲面立体一、圆柱体圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。1.圆柱体的组成由圆柱面和上下两底面组成。圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。A1AOO1直线AA1称为母线。VZXYABA1a'b'a1'b1'最左轮廓素线最前轮廓素线圆柱面的水平投影积聚成一个圆，另两个投影分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。2.圆柱体的投影3.圆柱面的（转向）轮廓线和可见性a'a1'b'b1'a(a1)b(b1)a(b)a1(b1)cd1dc1c'(d')c1'(d1')c(c1)d(d1)[例题]分析圆柱轮廓线的投影4.圆柱表面上取点()()A(D)CB利用投影的积聚性1111'2'3'5'4'1(1)22334(4)555.圆柱表面上取线圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。1.圆锥体的组成二、圆锥体由圆锥面和底面组成。O1OSA2.圆锥的投影ZVYXcsda(b)视图分析：圆锥水平投影是一个圆线框，正面投影和侧面投影是两个全等的三角形线框。水平投影的圆线框，反映圆锥底面的实形，同时也表示圆锥的投影。正面投影和侧面投影是等腰三角形线框，其下边为圆锥底面的积聚性投影。cabda's'b'c'(d')SAC最前轮廓线最左轮廓线3.圆锥面的（转向）轮廓线和可见性4.圆锥表面上取点2'22(3')3(3)1'2'5'4'3'112(2)33445(5)5.圆锥表面上取线1.圆球的形成：圆(母线)围绕直径回转而成。回转轴素线圆ZYXW主视轮廓圆平行V面左视轮廓圆平行W面俯视轮廓圆平行H面母线圆三、圆球2.圆球的投影：三个投影分别为三个和圆球的直径相等的圆回转圆的另两面投影分别在中心线上！3.圆球的（转向）轮廓线和可见性4.圆球表面上取点(2')(2)(2)333'1'2'3'4'(1)12(2)44335.圆球表面上取线3.4平面与常用回转体相交基本要求平面与圆柱相交平面与圆锥相交平面与圆球相交平面与组合回转体相交基本要求1.掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交，求表面交线的方法。2.掌握回转体截交线的性质及求截交线的方法。曲面立体截交线的性质1.曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形；2.曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线；3.曲面立体的截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未知投影。⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。☆先找特殊点，补充一般点。求截交线的方法步骤特殊点一、平面与圆柱相交1.平面与圆柱相交所得截交线形状2.例题1.平面与圆柱相交所得截交线形状两平行直线椭圆圆2.例题[例题1]求圆柱截交线11'1548'883254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4'(5')2'(3')23解题步骤1.分析:截平面为正垂面，所得截交线为椭圆，其侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2.求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3.求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4.光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5.整理轮廓线。766'(7')672'1'4'3'[例题2]求圆柱截交线3．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4．整理轮廓线。1'(2')1(3)3'(4')2(4)解题步骤1．分析:截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；ⅠⅡⅢⅣ1234[例题3]求圆柱截交线3.顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4.整理轮廓线。1'(2')3'(4')1(3)2(4)解题步骤1.分析:截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形和两条线段；2.求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；[例题4]求圆孔截交线[例题4]求圆孔截交线1'(2')(3')(4')5'(6')(7')(8')1(5)2(6)3(7)4(8)23671485二、平面与圆锥相交1.平面与圆锥相交所得截交线形状2.例题1.平面与圆锥相交所得截交线形状圆椭圆过锥顶的两直线双曲线抛物线平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线2.例题[例题1]求圆锥截交线4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。(6')3'63解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出一般点Ⅴ、Ⅸ；(8')5'(7')4'5876874[例题2]求圆锥截交线4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。aa'abb(c)解题步骤1．分析截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2．求出截交线上的特殊点A、B、C；3．求出一般点D、E；cb'c'ded'e'd(e)[例题3]求圆锥截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；3．出一般点Ⅳ、Ⅴ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。a2314511'a'232'(3')544'(5')[例题4]求圆锥截交线1'4'2'(3')11322344三、平面与圆球相交1.平面与圆球相交所得截交线形状2.例题1.平面与圆球相交所得截交线形状圆2.例题[例题1]求圆球截交线4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。1212343456567878abcdbacd2'1'3'(4')5'(6')7'(8')a'(b')c'(d')解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出若干个一般点A、B、C、D；221[例题2]求圆球截交线3．求出各段圆弧；4．判别可见性，整理轮廓线。33'31'2'解题步骤1．分析截平面为两个侧平面和一个水平面，截交线为圆弧和直线的组合；截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ；[例题3]求圆球截交线[例题4]求圆球截交线四、平面与组合回转体相交[例题1]分析并想象出物体的投影。[例题2]求出物体切割后的投影4'(5')54452'(3')3223[例题3]求顶针截交线的水平投影。2'(3')1'4'(5')6'113223(5)(4)45667'(8')87109879'(10')109基本要求1.掌握平面立体与回转体相贯线的性质与求法2.掌握两回转体相贯