立体几何压轴小题(含答案)

试卷第1页，总53页一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为4，点E，F分别是线段AB，11CD上的动点，点P是上底面1111ABCD内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面11ABBA的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（）A．5B．4C．42D．25【答案】D【解析】试题分析：因为点P是上底面1111ABCD内一动点，且点P到点F的距离等于点P到平面11ABBA的距离，所以，点P在连接1111,ADBC中点的连线上．为使当点P运动时，PE最小，须PE所在平面平行于平面11AADD,2244()252PE,选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段,ACBD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，=46,ABcmACcm，8,217BDcmCDcm，则这个二面角的度数为（）A．30B．60C．90D．120【答案】B【解析】试题分析：设所求二面角的大小为，则,BDAC，因为CDDBBAAC，所以22222()222CDDBBAACDBBAACDBBADBACBAAC而依题意可知,BDABACAB，所以20,20DBBABAAC所以2222||||||||2CDDBBAACBDAC即222417468286cos所以1cos2，而[0,]，所以60，故选B.CADB试卷第2页，总53页考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得这个几何体的体积是（）112222侧视图俯视图主视图A．343cmB．383cmC．33cmD．34cm【答案】B．【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312ShV．考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P是正方体1111ABCDABCD对角线1AC上一动点，设AP的长度为x，若PBD的面积为(x)f，则(x)f的图象大致是（）【答案】A【解析】试题分析：设AC与BD交于点O,连接OP.易证得BD面11ACCA,从而可得BDOP.设正方体边长为1,在1RtACC中126cos33CAC.在AOP中22OA,设,03APxx,由余弦定试卷第3页，总53页理可得2222226231222362OPxxxx,所以223162OPxx.所以22231262fxxx.故选A.考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，,EF分别是棱AA，CC的中点，过直线,EF的平面分别与棱BB、DD交于,MN，设BMx，[0,1]x，给出以下四个命题：（1）平面MENF平面BDDB；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小；（3）四边形MENF周长()Lfx，[0,1]x是单调函数；（4）四棱锥CMENF的体积()Vhx为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（）A．（1）（4）B．（2）C．（3）D．（3）（4）【答案】C【解析】试题分析：（1）由于ACEF//，BBACBDAC,，则DDBB平面AC，则DDBBEF平面，又因为EMFNEF平面，则平面MENF平面BDDB；（2）由于四边形MENF为菱形，MNEFSMENF21，2EF，要使四边形MENF的面积最小，只需MN最小，则当且仅当21x时，四边形MENF的面积最小；（3）因为1)21(2xMF，1)21(4)(2xxf，)(xf在]1,0[上不是单调函数；（4）NECFECMFMENFCVVV，MECS=41121EC，F到平面MEC的距离为1，试卷第4页，总53页1214131MECFV，又41121ECSNEC，1214131NECFV，61)(xh为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（）BCBCA111AD（A）34（B）54（C）74（D）34【答案】D.【解析】试题分析：连接BA1；11//CCAA,ABA1是异面直线AB与1CC所成的角或其补角；在1ADARt中，设11AA，则21,231DAAD；在1BDARt中，2121BA；在1ABA中，431122111cos1ABA；即面直线AB与1CC所成的角的余弦值为34.考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A．312B．12C．34D．3【答案】D【解析】正视图侧视图俯视图试卷第5页，总53页试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32r，23r，因此342rS表面积，故答案为D.考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．11DCDPB．平面11DAP平面1AAPC．1APD的最大值为90D．1APPD的最小值为22【答案】C【解析】试题分析：111DCDA，11DCBA，1111ABADA，1DC平面11BCDA，PD1平面11BCDA因此PDDC11，A正确；由于11AD平面11ABBA，11AD平面PAD11，故平面PAD11平面APA1故B正确，当2201PA时，1APD为钝角，C错；将面BAA1与面11BCDA沿BA1展成平面图形，线段1AD即为1PDAP的最小值，利用余弦定理解221AD，故D正确，故答案为C．考点：棱柱的结构特征．9．下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两条直线不一定平行C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D．若直线l不平行于平面，则在平面内不存在与l平行的直线【答案】B【解析】试卷第6页，总53页试题分析:由直线与平面的位置关系右知A正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）【答案】A【解析】试题分析：当P、B1重合时，主视图为选项B；当P到B点的距离比B1近时，主视图为选项C；当P到B点的距离比B1远时，主视图为选项D，因此答案为A.考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD的一半，试卷第7页，总53页其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线PE上，外接球半径为R，则在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2，即R2=（4-R）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCDABCD中，AB=11，AD=7，1AA=12，一质点从顶点A射向点4312E，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i次到第i次反射点之间的线段记为2,3,4iLi，1LAE，将线段1234,,,LLLL竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C【解析】试题分析：试卷第8页，总53页因为37411，所以1AE延长交11DC于F，过F作FM垂直DC于.M在矩形1AAFM中分析反射情况：由于35105AM，第二次反射点为1E在线段AM上，此时153EM,第三次反射点为2E在线段FM上，此时24EM,第四次反射点为3E在线段1AF上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则2286862rrr,故选B.考点：三视图内切圆球三棱柱14．已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为A．14B．24C．34D．12【答案】B.【解析】试题分析：如图作BE于E，连结AE，过A作AG∥CD，作EGAG于G，连结BG，则试卷第9页，总53页.BGAG设2ABa．在ABE中，60,90,2,.BAEAEBABaAEa在RtAEG中，29045,90,cos45.2GAECAGAGEAGaa在RtABG中，222cos,24aAGBAGABa异面直线AB与CD所成角的余弦值为24，故选B．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2.空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)ABCD.若123,,SSS分别是三棱锥DABC在,,xOyyOzzOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．123SSSB．21SS且23SSC．31SS且32SSD．32SS且31SS【答案】D【解析】试题分析：三棱锥ABCD在平面xoy上的投影为ABC，所以21S，设D在平面yoz、zox平面上的投影分别为2D、1D，则ABCD在平面yoz、zox上的投影分别为2OCD、1OAD，因为)2,1,0(1D，)2,0,1(2D，所以212SS，故选D.试卷第10页，总53页考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且1AE，12BF，将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥PDEF的体积是（）A．13B．56C．239D．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPEDPF所以,DPPEDPPF又因为PE平面PEF,PF平面PEF,且PEPFP,所以DP平面PEF在PEF中，22223151,,1222PEPFEFEBBF所以222351222cos33212EPF,225sin133EPF所以11355sin122234PEFSPEPFEPF115523346PEFPDEFDPEFVVDPS三棱锥三棱锥所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD是