二次根式定义及性质

初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法1二次根式定义及性质教学内容：1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用．3.难点：利用，，解决具体问题.知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．知识点二：二次根式的性质1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraicexpression).初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法2经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、．例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．举一反三【变式1】x是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？(1)；(2)；解：(1)由≥0，解得：x取任意实数∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法3【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？思路点拨：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．类型二：二次根式的性质例1、计算：(1)(2)(3)(4)(5)(b≥0)(6)思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．解：(1)(2)=；(3)；(4)=；(5)；(6)．举一反三【变式1】计算：(1)；(2)；初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法4(3)；(4).思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)a2≥0；(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)∵a2≥0，∴；(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴=4x2-12x+9.例2、化简:(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．解：(1)==3；(2)==4；(3)==5；(4)==3.例3、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，并根据这一性质回答下列问题．(1)若=a，则a可以是什么数？(2)若=-a，则a可以是什么数？(3)＞a，则a可以是什么数？思路点拨：∵=a(a≥0)，初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法5∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？解：(1)因为，所以a≥0；(2)因为，所以a≤0；(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将x=-4代入二次根式，得=.例2、(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求的值．解：(1)由可得，，(2)例3、在实数范围内分解因式：(1)x2-5；(2)x3-2x；解:(1)原式初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法6.(2)原式.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列式子中，不是二次根式的是()A．B．C．D．2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是()A．5B．C．D．以上皆不对3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为()A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠14．的值是()A．0B．C．4D．以上都不对5．a≥0时，、、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是()A．B．C．D．6.(辽宁省大连市)如图，数轴上点N表示的数可能是()A．B．C．D．初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法7二、填空题1.若，则x=____________.2.若有意义，则的取值范围是____________.3．-=________．4.=____________.5.=____________.6.若，则____________.7.若，则____________；若，则____________.8.化简：=__________.9.计算：(1)=_______；(2)=________；(3)=________。10.(内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，A、B两点之间表示整数的点有_______个．三、解答题1.求下列二次根式中字母a的取值范围：初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法8(1)，(2)；(3).2.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？能力提升一、选择题1.使式子有意义的未知数x有()个A．0B．1C．2D．无数2.(山西省临汾市)若，则与3的大小关系是()A．B．C．D．3.下列计算正确的是()A．B．C．D．4.(福建省厦门市)下列四个结论中，正确的是()A.B.C.D.二、填空题1.若，则____________.2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．3.已知实数在数轴上的对应点如图所示，则____________.三、解答题1.当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法92.若+有意义，求的值.3.(北京市海淀区)已知实数x，y满足，求代数式的值.4.已知，求x+y的值.综合探究1.(福建省南安市)观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，……那么第10个数据应是____________.2.(江苏省苏州市)等式中的括号应填入____________.3．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+(1-a)=1；乙的解答为：原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．4.若时，试化简.5．在实数范围内分解下列因式:(1)；(2).二次根式定义及性质测试题一、复习1、什么叫平方根？开平方？2、平方根如何表示？3、求下列各数的平方根：4、求下列各数的正平方根：（1）4；（2）0.16；（3）925.（1）225;（2）0.0001；（3）1681.初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法10二、二次根式的意义1.二次根式的意义代数式______________叫做二次根式，读作______________,其中__________是被开方数.通常把形如_________________的式子也叫做二次根式.2．二次根式何时有意义二次根式有意义的条件是___________________________.3.例题例题1下列各式是二次根式吗？2、32、2、12a、)0(bb、24bac.例题2设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？（1）12x；（2）x2；（3）x1；（4）21x.4．练习（一）设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？（1）123x;（2）2x；（3）221xx.三、二次根式的性质性质1：______________________;性质2：________________________________;性质3：______________________;性质4：________________________________.例题3求下列二次根式的值：（1）2)3(；（2）122xx，其中3x.初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法11例题4化简二次根式（1）72；（2）312a；（3）2180xx；（4）3a；（5）52x；（6）2(0)9bba例题5设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：22)()(acbcba练习（二）：1、化简下列二次根式（1）32；（2）227(0)xx；（3）3124(0)2mnn；（4）223；（5）4a；（6）6312yx2、选择题（1）、实数a、b在数轴上对应的位置如图，则22)1()1(ab（）A、b-aB、2-a-bC、a-bD、2+a-b（2）、化简2)21(的结果是（）A、21B、12C、)12(D、)21(（3）、如果2121xxxx，那么x的取值范围是（）A、1≤x≤2B、1＜x≤2C、x≥2D、x＞2····ab01初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法12最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件：（1）_________________________________________________;（2）_________________________________________________.例题6判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）53a；（2）42a；（3）324x；（4）2321(1)aaa例题7将下列二次根式化成最简二次根式：（1）3240xyy；（2）220ababab；（3）0mnmnmn2、练习（三）（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：22221,,2,,441,3yabcaaabx（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：2222234314,,5,0,0yuvabacaymx（3）将下列各二次根式化成最简二次根式：322533,0,0,04abpabaxyxyxypqpq3、同类二次根式几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.初二数学（下）知识改变命运创造未来成功在励志成才要得法13例题8下列二次根式中，哪些是同类二次根式？433112,24,,,20,027ababaaba例题9合并下列各式中的同类二次根式：（1）323132122；（2）xybxyaxy34、练习（四）（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：A.132,50,2;18B.324,22,80;xxxxC.2233,30,03xyxaxay（2）合并下列各式中的同类二次根式：A.53545;2B.1246.2abab