高数课件数列的极限

第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、小结习题“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（1）割圆术播放——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS（2）截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111定义按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n2数列的定义注意1数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2数列是整标函数).(nfxn;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放3数列的极限问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx定义设{nx}为一数列，对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得当Nn时,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意;1的无限接近与刻划了不等式axaxnn.2有关与任意给定的正数Nx1x2x2Nx1Nx3x几何解释2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn,1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11N机动目录上页下页返回结束例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.机动目录上页下页返回结束例4.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以0,n对于一切自然数.limCxnn说明常数列的极限等于同一常数.小结用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,01唯一性定理1每个收敛的数列只有一个极限.证法一:,lim,limbxaxnnnn又设由定义,使得.,,021NN;1axNnn时恒有当;2bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.二、收敛数列的性质23ba22abnabax证法二:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式机动目录上页下页返回结束2有界性定义对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界定理2收敛的数列必定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列机动目录上页下页返回结束注意有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.3.收敛数列的保号性.若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)机动目录上页下页返回结束4子数列的子数列（或子列）．列称为原数列到的一个数中的先后次序，这样得项在原数列保持这些中任意抽取无限多项并在数列nnnxxx,,,,,21nixxxx,,,,21knnnxxx.knnxxkxxkknnnnkkk项，显然，中却是第在原数列项，而是第中，一般项在子数列注意例如，定义三、小结习题数列研究其变化规律;数列极限数列极限的“–N”定义；收敛数列的性质有界性、唯一性、保号性;子数列的定义..,001.0.,,?lim,2cos1NxNnNxnnxxnnnnn求出整数时当小于正数与其极限之差的绝对值时使当求出问的一般项设数列解.02coslimnnn要使事实上,,|2cos||0|nnxn习题解答P312题,1n只要,1n即要],1[N取,1,],1[,0nNnN恒有时使得则对.|0|nx从而.022coslimlimnxnnn故]001.01[,001.0N整数时当.1000习题解答[返回习题]习题解答P313题(3).1lim222nann用数列极限的定义证明证nnannan22221||因为nanna222,22na,|1|,022nan所以,22na只要.||an即要],||[aN取.||,anNn恒有时则当,|1|22nan从而.1lim22nann所以习题解答[返回习题]作业P30-311(2),(4),(6),(8)第三节目录上页下页返回结束