九年级数学面积问题与面积方法例题讲解

第1/4页九年级数学面积问题与面积方法例题讲解知识点、重点、难点用面积方法解题，其基本原理是：首先根据问题中的几何量与有关图形面积之间的内在联系，用面积表示有关的几何量；其次把几何量之间的关系转化为面积关系，然后通过面积变形，得到原问题的解决方法。面积方法解题有时更具有直观性、通用性和简洁性，因此在国内外数学竞赛试题中经常出现面积问题。1.三角形的面积公式（1）12aSah；（2）S=pr（p为三角形半周长，r为内切圆半径）；（3）4abcSR（R为外接圆半径）；（4）111sinsinsin222SabCbcAcaB；（5）()()()Sppapbpc（p为半周长）（海仑公式）。2.四边形的面积公式设四边形ABCD的对角线AC，BD的夹角为，则1sin.2ABCDSACBD3.多边形的面积（1）设P为多边形内一点，则122312nPAAPAAAAASSS多边形1.nPAAS（2）设多边形有内切圆，半径为r，则12nAAASpr多边形（p为半周长）。4.等积变换的基本定理(1)等底等高的两个三角形面积相等；(2)两个三角形面积比，等于它们的底高积之比；(3)两个等底三角形面积之比，等于它们高之比；(4)两个等高三角形面积之比，等于它们底之比；(5)两个相似三角形面积之比，等于它们相似比的平方；(6)两个等角三角形面积比等于它们夹该角的两边之积的比；例题精讲例1：如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC＋DE=1，求五边形ABCDE的面积。分析应用割补将五边形面积转化成两个三角形面积之和。解因为AB=AE，∠ABC=∠AED=90°，所以可将△AED切割下补在△ABP的位置。如图，AP=AD，BP=DE.观察△ACD和△APC，有PC=BP＋BC=CD=1，AC=AC，AP=AD.△ACD和△APC三条边都对应相等，△ACD和△APC是两个同样的三角形（△ACD≌△APC），所以,22ACDAPCABCDEAPCDACDADCAPCSSSSSSS1()1.2PCAB例2：如图，将△ABC的三个顶点与一个内点连结起来，所得三条连线把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，试求ABCS．第2/4页解设另外两个小三角形面积分别为x、y，根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，则得方程组4040843030353535304084848435,4030yxxxyxyy解得7056.xy所以ABCS＝30＋35＋70＋84＋56＋40＝315.例3：如图，在△ABC中，P为BC边上任意一点，PE∥BA，PF∥CA.若1ABCS，证明：BPFS，PCES，和PEAFS中至少有一个不小于4.9证明设(01)BPttBC，并且1ABCS．因为PE∥BA，PF∥CA，所以△BPF∽△BCA，△PCE∽△BCA，所以2()BPFABCSBPSBC2t，所以2.BPFSt同理可得22()(1),PCEABCSCPtSBC所以2(1).PCESt所以221(1)2(1).PEAFABCBPFPCESSSStttt原命题要证BPFPCEPEAFSSS、、中至少有一个不小于49，用反证法。不妨设444,,999BFPPCEPEAFSSS，即得不等式组224941942(1),9tttt化简得409553321.33ttttt或或由不等式组无解，得原命题成立。例4：如图，已知△PQR与△P'Q'R'是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF的边长分别记为：AB＝1a，BC＝1b，CD＝2a，DE=2b，EF＝3a，FA＝3b，求证：222222123123aaabbb证明设△PAB、△Q'CB、△QCD、△R'ED、△RFE、△P'AF的面积分别为1S、2S、3S、4S、5S、6S由已知易证△PAB∽△Q'CB∽△QCD∽△R'ED∽△RFE∽△P'AF，所以222632142222111111,,,SbSbSbSaSaSa所以222246123211SSSbbbSa，所以211222123246aSbbbSSS，同理可证232222123246SabbbSSS，第3/4页235222123246aSbbbSSS，所以222123135222123246aaaSSSbbbSSS，因为135246SSSSSS，所以2221232221231aaabbb，即222222123123aaabbb.例5：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，并且ABAC，在斜边BC上取一点D，使BD=AB，过D作直线平分△ABC的面积，且与AB的交点为E.求证：BE、DE都等于BC的一半。证明设BC的中点为O，连结AO.因为△ABO与△ABC是同高的两个三角形，并且O是BC的中点，所以12ABOABCSS，因为ED平分△ABC的面积，所以12EBDABCSS；所以,ABOEBDSS所以ABOEBOEBDEBOSSSS，即AEODEOSS．因为△AEO和△DEO共底边且面积相等，所以AD∥EO，所以∠BEO=∠BAD，∠BOE=∠BDA．因为AB=BD，所以∠BAD=∠BDA，所以∠BEO=∠BOE，所以12BOBEBC，所以△ABO≌△DEB，所以DE=AO.因为∠BAC=90°，O是BC中点，所以12AOBC，所以1.2DEAOBC例6：（第26届IMO试题）设凸四边形ABCD的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心在AB边上，且与四边形的其他三边相切，求证：AD＋BC=AB.分析设AD、BC延长线交于E，利用△ECD∽△EAB可以得出边和面积的比例关系，而⊙O与AD、CD、BC相切又可以将面积的关系转化为底边之间的关系，两者综合起来便得到所要证明之结论。证明延长AD、BC交于E(如图)，连结EO、OC、OD.设⊙O的半径为r，则111,222ECDEDOECODCOSSSSDErCErCDr11.22ABEAEOBEOSSSAErBEr因为ABCD是圆内接四边形，所以△ECD∽△EAB，所以ECEDCDEAEBAB，所以EC,,.EAEDEBCDAB又因为2,ECDABESDECECDSAEBE所以2(),EAEBABEAEB所以EAEBEAEBAB，所以().ECEDEAEBEAEBAB所以.ADBCEAEDEBECAB第4/4页