万有引力理论的成就

第四节万有引力理论的成就课标定位学习目标：1.了解重力等于万有引力的条件．2．会用万有引力定律求中心天体的质量．3．了解万有引力定律在天文学上的重要应用．重点难点：1.利用万有引力定律对天体进行有关计算．2．万有引力定律与牛顿第二定律综合解决圆周运动问题．核心要点突破课堂互动讲练知能优化训练第四节课前自主学案课前自主学案一、地球质量的计算1．若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力近似等于地球对物体的______．2．公式：mg＝______.由此式可得出地球的质量为：M＝____.引力GMmR2gR2G二、计算天体的质量1．将行星(或卫星)的运动近似看做________运动，行星(或卫星)的向心力由________提供．2．公式：F万＝F向即GMmr2＝mω2r＝m4π2T2r.由此式可得出太阳或行星的质量为：M＝_______.4π2r3GT2匀速圆周万有引力•三、发现未知天体•1．18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差．•2．根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道，如_______和_______就是这样发现的．海王星冥王星•3．海王星和冥王星的轨道与计算结果不完全符合，因此人们猜测在冥王星外侧还有未发现的大行星．•注意：海王星和哈雷彗星的“按时回归”最终确立了万有引力定律的地位．核心要点突破•一、天体质量和密度的计算•1．求天体质量的思路•绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．2．计算天体的质量下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg＝GM地·mR2，解得地球质量为M地＝R2gG.(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动GMmr2＝m2πT2r⇒M＝4π2r3GT2，已知卫星的r和T可以求M；mv2r⇒M＝rv2G，已知卫星的r和v可以求M；mω2r⇒M＝r3ω2G，已知卫星的r和ω可以求M.3．计算天体的密度若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝M43πR3将M＝4π2r3GT2代入上式得：ρ＝3πr3GT2R3特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝3πGT2.特别提醒：(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．(2)要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行，则有R＝r.即时应用(即时突破，小试牛刀)1．(2011年高考福建卷)“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝43πR3，则可估算月球的()•A．密度B．质量•C．半径D．自转周期解析：选A.对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可得：GMmR2＝m4π2T2R，故月球的质量M＝4π2R3GT2，因“嫦娥二号”为近月卫星，故其轨道半径为月球的半径R，但由于月球半径未知，故月球质量无法求出，月球质量未知，则月球的半径R也无法求出，故B、C项均错；月球的密度ρ＝MV＝4π2R3GT243πR3＝3πGT2，故A正确．二、应用万有引力定律计算天体运动1．解决天体问题的两条思路：(1)万有引力提供向心力GMmr2＝ma向＝mv2r＝mω2r＝mωv＝m4π2T2r.(2)重力近似等于万有引力(m在M的表面附近，不考虑自转影响)mg＝GMmR2.2．常用的几个关系式设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动(1)由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，r越大，天体的v越小．(2)由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，r越大，天体的ω越小．(3)由GMmr2＝m(2πT)2r得T＝2πr3GM，r越大，天体的T越大．(4)由GMmr2＝man得an＝GMr2，r越大，天体的an越小．•3．解决天体问题时应注意的问题•(1)在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只能测出中心天体的质量，而环绕天体的质量在方程式中被消掉了．•(2)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件．如地球公转一周是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8m/s2等．(3)由GMmR2＝mg可以得到：GM＝gR2.由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住．所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了引力常量G值和地球的质量M值，方便多了．•即时应用(即时突破，小试牛刀)•2．(2010年高考天津理综卷)探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比()•A．轨道半径变小B．向心加速度变小•C．线速度变小D．角速度变小解析：选A.由GMmr2＝mr(2πT)2可知，变轨后探测器轨道半径变小，由a＝GMr2、v＝GMr、ω＝GMr3可知，探测器向心加速度、线速度、角速度均变大，只有选项A正确．课堂互动讲练•(2011年南京高一检测)在某行星上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．天体质量的估算例1【思路点拨】解答该题应明确两个关系：(1)在行星表面物体的重力等于星球对它的万有引力．(2)在行星表面附近飞船飞行的向心力由万有引力提供．【精讲精析】当宇宙飞船在行星表面空间做匀速圆周运动时，它的向心力由万有引力提供，设行星质量、飞船质量分别为M和m1，行星半径为R，则有GMm1R2＝m1R4π2T2①砝码m的重力等于万有引力F＝GMmR2②由①②得M＝F3T416π4Gm3.【答案】F3T416π4Gm3【方法总结】求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据重力加速度求天体质量，即g＝GMR2，则M＝gR2G；另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程：GMmr2＝m4π2T2r，求得M＝4π2r3GT2.变式训练1(2011年合肥高一检测)如果我们能测出月球表面的加速度g，月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了．已知引力常量G，用M表示月球的质量，关于月球质量，下列各式正确的是()A．M＝gR2GB．M＝GR2gC．M＝4π2R3GT2D．M＝T2R34π2G解析：选A.根据月球表面物体的重力和万有引力相等，mg＝GMmR2，可得月球质量M＝gR2G，所以A对，B错．由月球和地球间的万有引力提供月球绕地球运转的向心力即GM地Mr2＝M(2πT)2r(其中r为地月距离)可求中心天体地球的质量M地＝4π2r3GT2，所以C、D均错．•假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？天体密度的估算例2【自主解答】设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近表面运动时有GMmR2＝m4π2T21R，解得M＝4π2R3GT21根据数学知识可知星球的体积V＝43πR3故该星球密度ρ＝MV＝4π2R3GT21·43πR3＝3πGT21卫星距天体表面距离为h时有GMmR＋h2＝m4π2T22(R＋h)，解得M＝4π2R＋h3GT22所以ρ＝MV＝4π2R＋h3GT22·43πR3＝3πR＋h3GT22R3.【答案】3πGT213πR＋h3GT22R3【方法总结】利用公式M＝4π2r3GT2计算出天体的质量，再利用ρ＝M43πR3计算天体的密度，注意r指天体运动的轨道半径，而R指中心天体的半径，只有贴近中心天体运行时才有r＝R.变式训练2如果在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表，记下一昼夜的时间T；然后，用弹簧秤测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%.试写出该星球平均密度的估算表达式．解析：设星球的质量为M，半径为R，表面重力加速度为g′，平均密度为ρ，砝码的质量为m.砝码在赤道上失重1－90%＝10%，表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为Fn＝ΔG＝0.1mg′，而一昼夜的时间T就是星球的自转周期．根据牛顿第二定律，有0．1mg′＝m(2πT)2R，根据万有引力定律，星球表面的重力加速度为g′＝GMR2＝43GπρR，所以，星球平均密度的估算表达式为ρ＝30πGT2.答案：ρ＝30πGT2•天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(万有引力常量为G)例3“双星”问题的求解【思路点拨】双星在他们的引力作用下做圆周运动，周期和角速度相同，都是由万有引力提供向心力．【精讲精析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2.根据题意有r1＋r2＝r根据万有引力定律和牛顿定律，有Gm1m2r2＝m14π2T2r1Gm1m2r2＝m24π2T2r2联立以上各式解得m1＋m2＝4π2r3T2G.【答案】4π2r3T2G•【名师归纳】对于双星问题要注意：•(1)两星所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球做圆周运动的向心力大小相等．•(2)双星具有共同的角速度、周期．•(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上．•变式训练3(2010年高考重庆理综卷)月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为()A．1∶6400B．1∶80C．80∶1D．6400∶1解析：选C.月球与地球做匀速圆周运动的圆心在两质点的连线上，所以它们的角速度相等，其向心力是相互作用的万有引力，大小相等，即mω2r＝Mω2R，所以mω·ωr＝Mω·ωR，即mv＝Mv′，所以v∶v′＝M∶m＝80∶1，选项C正确．知能优化训练本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用