高中数学基本不等式的解法十例

高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222abab，其中,abR，当且仅当ab时等号成立。2．2abab，其中,0,ab，当且仅当ab时等号成立。3．常考不等式：22221122abababab，其中,0,ab，当且仅当ab时等号成立。二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路：（1）积定和最小：若ab是定值，那么当且仅当ab时，min2abab。其中,0,ab（2）和定积最大：若ab是定值，那么当且仅当ab时，2max2abab，其中,abR。例题1：若实数,ab满足221ab，则ab的最大值是．解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：222222212224abababab，当且仅当1ab时取等号。变式：函数1(0,1)xyaaa的图象恒过定点A，若点在直线1mxny上，则mn的最大值为______。解析：由题意可得函数图像恒过定点1,1A，将点1,1A代入直线方程1mxny中可得1mn，明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2124mnmn，当且仅当12mn时取等号。例题2：已知函数2122xxfx，则fx取最小值时对应的x的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2211222122xxxx，当且仅当21212xxx时取等号。变式：已知2x，则12xx的最小值为。解析：由题意可得120,212xxx，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：11222222xxxx，当且仅当122112xxxx时取等号，此时可得102xx。例题3：若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。22max3131xxaaxxxx解法1：将231xxx化简可得2101313xxxxxx，观察分母，很明显可以得到积为定值，根据积定和最小的法则可得：1122xxxx，当且仅当11xxx时取等号。故而可得分式的分母2max1111350151353xxxxxxx，因此可得：15a。解法2：将231xxx化简可得2101313xxxxxx，令10fxxxx，这是一个对勾函数，故而可得112fxxfx。故而分母1335xfxx，代入分式函数取倒数可得2max1110151353xxxxx因此可得：15a。问题2：“1”的代换解题思路：根据0mfxfxmm，对所求内容进行乘除化简即可。例题4：若两个正实数x、y满足141xy，且不等式234yxmm＜有解，则实数m的取值范围是。解析：由题意可得141xy，左边乘以141xy可得：14441yxxyyx，化简可得：1441144yyxxxyxy，很明显44yxxy中积为定值，根据积定和最小的法则可得：442244yxyxxyxy，当且仅当24184xyxyxy时取等号。故而可得1444yxxy。不等式234yxmm＜有解，亦即2min344ymmx，亦即2340mm，解得4m或者1m，故而可得,14,m。变式：若0x，0y，且1222xyxy，则43xy的最小值为__________．解析：由2243xyxyxy，化简题干条件可得142222xyxy乘以所求内容可得：1414432222222224322xyxyxyxyxyxyxyxy，化简后可得：422241222432xyxyxyxyxy，很明显4222222xyxyxyxy中二者积为定值，根据积定和最小法则可得4242222224222222xyxyxyxyxyxyxyxy，当且仅当42222222xyxyxyxy，亦即032xy时取等号。此时可得min9432xy。问题3：方程中的基本不等式解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。例题5：（2015·湖南高考）若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为__________．解析：由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：1212222abababab，当且仅当122baab时取等号，化简后可得：22ab，此时145422ab变式：若lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为__________．解析：将题干条件化简可得：lg3lg131xyxyxyxy，由题意需要求解xy，故而可知利用不等式2xyxy，将条件化简可得：312xyxyxy当且仅当xy时等号成立，化简上式可得3120311011xyxyxyxyxyxy，此时1xy问题4：含参基本不等式问题解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。例题6：已知222241aaxxx对于任意的1,x恒成立，则（）A．a的最小值为3B．a的最小值为4C．a的最大值为2D．a的最大值为4解析：由题意可知参数为a，将自变量移项可得：2244221xaaxxxxx，观察等式右侧，可知等式右侧经配凑可得积为定值，根据积定和最小可得：44121411xxxx，当且仅当4131xxx时取等号，此时可得min451xx。由24221aaxx对于任意的1,x恒成立可得：2min42251aaxx，化简可得310aa，解得31a。变式6：已知a0，b0，若不等式22182mmabab恒成立，则m的取值范围是。解析：由题意可知参数为m，将双自变量a、b移项可得：22182mmabab恒成立，故而可得2min2182mmabab，将不等式右侧化简可得212225baababab，很明显积为定值，根据积定和最小法则可得：222224babaabab，当且仅当221baabab时取等号。故而min2129abab，代入不等式中可得289mm化简为910mm解不等式可得19m。问题5：不等式与其他问题结合（向量与不等式）例题7：已知(0,0)OAaOBbOCab，且,,ABC三点在同一条直线上，则11ab的最小值为_________．解析：由三点共线可得1ab，观察形式采用“1”的代换，故而111121abbaababab，等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可得：22babaabab，当且仅当12baabab时取等号。故而可得1123baabab。（不等式与解析几何）例题8：若直线20axby（0a，0b）被圆222410xyxy截得的弦长为4，则11ab的最小值为。解析：将圆化为标准方程可得22124xy，根据弦长为4可得直线经过圆心。将圆心1,2代入直线方程可得22ab。观察求解形式可得采用“1”的代换方法，即112112ababab，化简可得23112baabab很明显积为定，根据积定和最小法则可得：22222babaabab，当且仅当222222abaabb时取等号，故而可得231132222baabab。（基本不等式与线性规划）例题9：设,xy满足条件360{200,0xyxyxy，若目标函数zaxby（0,0ab）的最大值为12，则32ab的最小值为。解析：作出可行域如图所示：故而可得+zaxby在点4,6H取最大值，即4612236abab，由题意可得采用“1”的代换求解。即329423123266baabababab，观察分子可得分子积为定值，根据积定和最小法则可得：9494212babaabab，当且仅当39421abaabb时取等号，故而可得94123246baabab。（不等式与解三角形）例题7：𝛥𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑏2+𝑐2−𝑎2+𝑏𝑐=0.（1）求角𝐴的大小；（2）若𝑎=√3，求𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶的最大值.（3）求ABC周长的最值。.解析：（1）由题意与余弦定理可得222222cosabcbcAbcbc，解得1cos2A，故而3A（2）由余弦定理可得2223abcbc，故而223bcbc，由基本不等式222abab可得22323bcbcbcbc，当且仅当3bc时取“=”号。故而可得三角形的面积1133sin3332224ABCSbcA。（3）由余弦定理可得2223abcbc，故而223bcbc，由基本不等式22abab可得：2222223333332324bcbcbcbcbcbcbcbc，当且仅当3bc时取“=”号。故而可得三角形的周长33ABCCabc。