函数的单调性及极值

一、函数单调性的判定二、函数的极值及其求法第2节函数的单调性及极值三、函数的最值及其求法下一页上一页返回单调性是函数的重要性态之一，在第1章中我们已经给出了函数单调性的定义，可以看出，用定义判定函数的单调性是比较困难的，这里我们将利用导数来判定函数的单调性．一、函数单调性的判定下一页上一页返回设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导.(1)若在(a,b)内f(x)0，则函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.(2)若在(a,b)内f(x)0，则函数y=f(x)在[a,b]上单调增加.定理1(函数单调性的充分条件)下一页上一页返回证明在[a,b]上任取两点x1,x2，不妨设x1x2，则由拉格朗日中值定理知211212,))(()()(xxxxfxfxf(1)若f(x)0，x∈(a,b),则f()0,于是可得在因此，即)(,)()(0)()(1212xfxfxfxfxf[a,b]上单调增加.(2)若f(x)0，x∈(a,b),则f()0,于是可得在因此，即)(),()(0)()(1212xfxfxfxfxf[a,b]上单调减少.下一页上一页返回几何意义：若曲线y=f(x)在某区间内的切线与x轴正向夹角是锐角，则曲线在该区间内上升；若这个夹角是钝角，则曲线在该区间内下降．说明：（1）闭区间[a,b]若为开区间、半开区间或无穷区间，结论同样成立．（2）定理1表明，可以根据导数的正负判定可导函数的单调性．如果函数的导数仅在个别点处为零，而在其余点处均满足定理1的条件，那么定理1的结论仍然成立．下一页上一页返回确定函数f(x)单调性的一般步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求出一阶导数f(x)，确定使f(x)=0及f(x)不存在的点；（3）用（2）所得的点将定义域划分为若干子区间，列表确定f(x)在各个子区间内的符号，进而判定函数f(x)的单调区间．下一页上一页返回例1解(1)该函数的定义区间为(,)(2)f(x)=x2-3x-4=(x+1)(x-4)，令f(x)=0，得x1=-1，x2=414233123xxxxf求函数的单调区间．(3)列表讨论如下(表中记号↗表示单调增加，记号↘表示单调减少）：x(,-1)(-1,4)(4,)f(x)f(x)下一页上一页返回所以(-∞,-1)和(4,+∞)是f(x)的递增区间,(-1,4)是f(x)的递减区间.此例说明，导数为零的点可能是单调区间的分界点．另外，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点．例如，函数y=︱x︱在点x=0处连续，但它在x=0处不可导．在区间(-∞,0)内，y′0，函数单调减少；而区间(0，+∞)内y′0，函数单调增加，所以点x=0是函数单调区间的分界点．下一页上一页返回例2.,1exexx时证明当证明,)(exexfx设.),1()(内单调增加在所以xf:,),1[)(从而有内连续在又xf.0)1()(,1fxfx时当.exex,0)(,1eexfxx有时当,1,时当因此x下一页上一页返回极值是函数的一种局部性态，能为我们准确描绘函数图形提供更详细的信息，同时在求函数的最大值和最小值问题时发挥重要作用．下面介绍函数极值的定义，讨论函数极值的求法．二、函数的极值及其求法下一页上一页返回定义设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，若对于x0的左右近旁异于x0的x恒有(1)f(x0)f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，x0称为f(x)的极大值点；(2)f(x0)f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值，x0称为f(x)的极小值点；函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为极值点.下一页上一页返回如图所示，x1，x4为f(x)的极大值点，x2，x5为f(x)的极小值点.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5函数的极值概念是局部性的.说f(x0)是极大值或极小值，只是与x0附近点x的函数值f(x)相比较．因此，就整个定义区间而言，一个函数可能有若干个极大值或极小值，而且有的极大值可能比有的极小值还小．下一页上一页返回定理2(极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)为极值，则必有f(x0)=0.即f(x0x)-f(x0)0，x0.证明(1)设f(x0)是极大值，则必有00xfxxf由定理条件知f(x0)存在，故有0)()(lim)()(00000xxfxxfxfxfx下一页上一页返回0)()(lim)()(00000xxfxxfxfxfx.)(.0)(,00证明是极小值的情形可类似必有综上所述xfxf几何意义：可导函数的图形在极值点处的切线与x轴平行.驻点：使得导数f(x0)=0的点x0.定理2说明，可导函数的极值点必是驻点.反之，函数的驻点不一定是极值点．另外，一阶不可导点也可能是极值点.下一页上一页返回例如，x=0是函数f(x)=x3的驻点而不是它的极值点；函数f(x)=︱x︱在x=0处不可导，但f(0)=0是它的极小值.驻点和一阶不可导点统称为函数的极值嫌疑点.那么极值嫌疑点是不是极值点，如果是极值点，它是极大值点还是极小值点，如何判断？为了解决这些问题有下面的定理：下一页上一页返回定理3(极值的第一充分条件)设函数f(x)在点x0的左右近旁可导(在点x0处可以不可导，但必须连续)，若当x在x0的左右近旁由小于x0连续地变为大于x0时，f(x0)改变符号，则函数f(x)在点x0取得极值，且(1)若导数f(x)由正变负，则f(x0)为函数f(x)的极小值，x0为极小值点.(2)若导数f(x)由负变正，则f(x0)为函数f(x)的极大值，x0为极大值点..(3)若f(x)不变号，则f(x0)不是函数f(x)的极值，x0不是极值点.下一页上一页返回运用定理3求函数f(x)的极值点和极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域.(2)求出一阶导数f(x)，确定f(x)的极值嫌疑点.(4)求出各极值点处的函数值，得到函数f(x)的全部极值.(3)用极值嫌疑点划分定义域，列表讨论f(x)的符号变化，确定极值点.下一页上一页返回例3求函数f(x)=(x-1)3的极值.2x解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞).33132325132)()2(xxxxxxf.0,52,0)(21xxxf不可导点得驻点令（3）列表讨论如下：下一页上一页返回x(-,0)f(x)052,052,52+不存在-0+f(x)极大值025453极小值352,0)0(0,xfx在点取得极大值函数在所以.25453)52(3f取得极小值下一页上一页返回例4求函数f(x)=(x2-1)3-1的极值.解(1)f(x)的定义域为(-,+).(2)f(x)=3(x2-1)22x=6x(x+1)2(x-1)2,令f(x)=0,得驻点x1=-1,x2=0,x3=1.（3）列表讨论如下：下一页上一页返回(1,+)x(-,1)f(x)-10,11,01-0-0+0+f(x)无极值2极小值无极值0所以，函数在点x=0取得极小值f(0)=-2，函数没有极大值．下一页上一页返回定理4(极值的第二充分条件)(1)若f(x0)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值，x0为极大值点；(2)若f(x0)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值，x0为极小值点.(证明从略)若f(x0)=0，且f(x0)0，则函数f(x)在点x0取得极值，且设函数f(x)在点x0的二阶导数存在，若下一页上一页返回运用定理4求函数f(x)的极值点和极值的一般步骤是：(1)确定定义域.(3)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点.(4)求出极值点处的函数值，取得函数f(x)的全部极值.(2)求出一阶导数f(x)，确定f(x)的所有驻点.下一页上一页返回例5求函数f(x)=x4–10x2+5的极值.解(1)f(x)的定义域为(-,+).(2)f(x)=4x3–20x=4x(x2-5)，令f(x)=0,得驻点.5,0,5321xxx(3)因为f(x)=12x2–20，于是有,040)5(f,020)0(f.040)5(f所以函数f(x)在点x=0取得极大值f(0)=5,.20)5(5fx取得极小值在点下一页上一页返回在实际问题中常会遇到求函数的最大值与最小值问题．下面我们在函数极值的基础上讨论如何求函数的最大值与最小值．三、函数的最大值和最小值下一页上一页返回分析：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在[a,b]上一定有最大值和最小值．显然，在所设条件下，f(x)在闭区间[a,b]的最值只可能在极值点和区间的端点处达到．又因为极值点只能在极值嫌疑点中去找，所以只要求出全部极值嫌疑点和两个端点处的函数值，然后加以比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值．1.函数在闭区间上的最大值和最小值下一页上一页返回例6求函数f(x)=x3-3x2-9x+5在[-2,6]上的最大值和最小值.解f(x)=3x2-6x–9=3(x+1)(x-3),令f(x)=0，得驻点x1=-1,x2=3.计算f(x)在所有驻点及端点处的函数值：f(-1)=10,f(3)=-22,f(-2)=3,f(6)=59,比较这些值的大小，可知，在[-2,6]上，函数f(x)的最大值为f(6)=59,最小值为f(3)=-22.下一页上一页返回例7解函数f(x)在闭区间[-1,1]上连续，且有]1,1[45)(3在闭区间求函数xxf.上的最大值和最小值]1,1[,4534)(32xxxf)(],1,1[,0)(xfxxf所以函数不存在点，且上的最大值在故函数单调减少在]1,1[)(.]1,1[xf.1)1(,9)1(3ff最小值是是没有驻点，也没有导数内在可以看出)()1,1(,xf下一页上一页返回在实际问题中，若分析得知函数f(x)确实存在最大值或最小值，而所讨论的区间内仅有一个极值嫌疑点x0，则f(x0)就是所要求的最大值或最小值．2.实际问题中的最大值和最小值下一页上一页返回例8要建造一个容积为V(正常数)的圆柱形密闭容器，问应怎样选择圆柱形容器的半径R和高h，才能使所用的原材料最省？（如图所示）解由题意可知，要求适当选择R和高h，使圆柱形密闭容器的表面积S最小而其容积V是一常数．因为Rh)0(22)(2RRRhRS,,22RVhhRV即而下一页上一页返回),0(22)(2RRVRRS所以,0)(,24)(2RSRVRRS令求导得，得唯一驻点32VR,2RVh代入因此可得.43Vh.4,233时，使用的原材料最省当VhVR下一页上一页返回例9如图所示的电路中，已知电源电压为E，内阻为r，求负载电阻R为多大时，输出功率最大．解由电学知道，消耗在负载电阻R上的功率为P=I2R，其中I为回路中的电流．根据欧姆定律，有，代入上式，得RrEIIRrE).0(222RRrRERRrEP下一页上一页返回现在来求R在(0,+∞)内取何值时，输出功率P最大：，求导得32RrRrEdRdP所以R=r.,0032RrRrEdRdP，得令由于在区间(0,+∞)内函数P只有一个极值嫌疑点R=r，所以当R=r时，输出功率最大．下一页上一页返回