2013年高考理科数学全国卷1

12013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）第Ⅰ卷一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合2|20,|55AxxxBxx，则()A.A∩B=B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B2.若复数z满足(34)|43|izi，则z的虚部为()A.4B.45C.4D.453.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.已知双曲线C：22221xyab（0,0ab）的离心率为52，则C的渐近线方程为A.14yxB.13yxC.12yxD.yx5.运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t，则输出s属于A.[3,4]B.[5,2]C.[4,3]D.[2,5]6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.35003cmB.38663cmC.313723cmD.320483cm7.设等差数列na的前n项和为11,2,0,3nmmmSSSS，则m()A.3B.4C.5D.68.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为2A．168B．88C．1616D．8169.设m为正整数，2()mxy展开式的二项式系数的最大值为a，21()mxy展开式的二项式系数的最大值为b，若137ab，则m()A.5B.6C.7D.810.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,AB两点。若AB的中点坐标为(1,1)，则E的方程为()A.2214536xyB.2213627xyC.2212718xyD.221189xy11.已知函数()fx22,0ln(1),0xxxxx，若|()fx|≥ax，则a的取值范围是A．(,0]B．(,1]C．[2,1]D．[2,0]12.设nnnABC的三边长分别为,,nnnabc，nnnABC的面积为nS，1,2,3,n，若11111,2bcbca，111,,22nnnnnnnncabaaabc，则()A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.14.若数列{na}的前n项和为Sn＝2133na，则数列{na}的通项公式是na=______.15.设当x时，函数()sin2cosfxxx取得最大值，则cos______16.若函数()fx=22(1)()xxaxb的图像关于直线2x对称，则()fx的最大值是______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°(1)若PB=12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA318.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。20.(本小题满分12分)已知圆M:22(1)1xy,圆N:22(1)9xy,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21.（本小题满分共12分）已知函数()fx＝2xaxb，()gx＝()xecxd，若曲线()yfx和曲线()ygx都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线42yx（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥－2时，()fx≤()kgx，求k的取值范围。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。4（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos55sinxtyt(t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin。（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()fx=|21||2|xxa,()gx=3x.（Ⅰ）当a=2时，求不等式()fx＜()gx的解集；（Ⅱ）设a＞-1,且当x∈[2a，12)时，()fx≤()gx,求a的取值范围.参考答案一、选择题1．【解析】A=(-,0)∪(2,+),∴A∪B=R,故选B.2．【解析】由题知z=|43|34ii=2243(34)(34)(34)iii=3455i，故z的虚部为45，故选D.3．【解析】因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4．【解析】由题知，52ca，即54=22ca=222aba，∴22ba=14，∴ba=12，∴C的渐近线方程为12yx，故选C.5．【解析】有题意知，当[1,1)t时，3st[3,3)，当[1,3]t时，24stt[3,4]，∴输出s属于[-3,4]，故选A.56．【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4RR，解得R=5，∴球的体积为345335003cm，故选A.7．【解析】有题意知mS=1()2mmaa=0，∴1a=－ma=－（mS-1mS）=－2，1ma=1mS-mS=3，∴公差d=1ma-ma=1，∴3=1ma=－2m，∴m=5，故选C.8．【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222=168，故选A.9．【解析】由题知a=2mmC，b=121mmC，∴132mmC=7121mmC，即13(2)!!!mmm=7(21)!(1)!!mmm，解得m=6，故选B.10．【解析】设1122(,),(,)AxyBxy，则12xx=2，12yy=－2，2211221xyab①2222221xyab②①－②得1212121222()()()()0xxxxyyyyab，∴ABk=1212yyxx=212212()()bxxayy=22ba，又ABk=0131=12，∴22ba=12，又9=2c=22ab，解得2b=9，2a=18，∴椭圆方程为221189xy，故选D.11．【解析】∵|()fx|=22,0ln(1),0xxxxx，∴由|()fx|≥ax得，202xxxax且0ln(1)xxax，由202xxxax可得2ax，则a≥-2，排除Ａ，Ｂ，当a=1时，易证ln(1)xx对0x恒成立，故a=1不适合，排除C，故选D.12．B13．【解析】bc=[(1)]ttbab=2(1)ttabb=112tt=112t=0，解得t=2.14．【解析】当n=1时，1a=1S=12133a，解得1a=1，6当n≥2时，na=1nnSS=2133na－(12133na)=12233nnaa，即na=12na，∴{na}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴na=1(2)n.15．【解析】∵()fx=sin2cosxx=5255(sincos)55xx令cos=55，25sin5，则()fx=5(sincossincos)xx=5sin()x，当x=2,2kkz，即x=2,2kkz时，()fx取最大值，此时=2,2kkz，∴cos=cos(2)2k=sin=255.16．【解析】由()fx图像关于直线x=－2对称，则0=(1)(3)ff=22[1(3)][(3)3]ab，0=(1)(5)ff=22[1(5)][(5)5]ab，解得a=8，b=15，∴()fx=22(1)(815)xxx，∴()fx=222(815)(1)(28)xxxxx=324(672)xxx=4(2)(25)(25)xxx当x∈(－∞,25)∪(－2,25)时，()fx＞0，当x∈(25,－2)∪(25,+∞)时，()fx＜0，∴()fx在（－∞，25）单调递增，在（25，－2）单调递减，在（－2，25）单调递增，在（25，+∞）单调递减，故当x=25和x=25时取极大值，(25)f=(25)f=16.17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o60，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得2PA=o11323cos3042=74，∴PA=72；（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=sin，在△PBA中，由正弦定理得，oo3sinsin150sin(30)，化简得，3cos4sin，7∴tan=34，∴tanPBA=34.18．【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，1AB，1AE，∵AB=1AA，1BAA=060，∴1BAA是正三角形，∴1AE⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵1CEAE=E，∴AB⊥面1CEA，∴AB⊥1AC；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，1EA⊥AB，又∵面ABC⊥面11ABBA，面ABC∩面11ABBA=AB，∴EC⊥面11ABBA，∴EC⊥1EA，∴EA，EC，1EA两两相互垂直，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，有题设知A(1,0,0),1A(0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC=（1,0，3）,1BB=1AA=(－1,0,3),1AC=(0,－3,3),……9分设n=(,,)xyz是平面11CBBC的法向量，则100BCBBnn，即3030xzxy，可取n=（3，1，-1），∴1cos,AC