1-2.3-二次函数与一元二次方程、不等式

第二章一元二次函数、方程和不等式2．3二次函数与一元二次方程、不等式第二章一元二次函数、方程和不等式考点学习目标核心素养一元二次不等式的解法掌握一元二次不等式的解法数学运算三个“二次”之间的关系理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系数学抽象一元二次不等式的实际应用会用一元二次不等式解决有关实际问题数学建模栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式问题导学预习教材P50－P54，并思考以下问题：1．一元二次不等式的概念是什么？2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的过程是什么？栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式1．一元二次不等式(1)一般地，我们把只含有______未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式．(2)一元二次不等式的一般形式是__________________或__________________(其中a，b，c均为常数，a≠0)一个2ax2＋bx＋c0ax2＋bx＋c0栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式■名师点拨一元二次不等式概念中的关键词(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)．(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使______________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．ax2＋bx＋c＝0栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式Δ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c0(a0)的解集____________________________________ax2＋bx＋c0(a0)的解集_________________________{x|xx1，或xx2}{x|x≠－b2a}R{x|x1xx2}∅∅栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式■名师点拨从两个角度看三个“二次”之间的内在联系(1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．(2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式4．求解一元二次不等式的过程栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x0是一元二次不等式．()(2)不等式x2－2x＋30的解集为R.()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}．()×√×栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式不等式3x2－2x＋10的解集为()A．x－1x13B．x13x1C．∅D．R解析：选D.因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－80，所以不等式3x2－2x＋10的解集为R.栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式不等式ax2＋5x＋c0的解集为x13x12，则a，c的值分别为()A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1C．a＝1，c＝1D．a＝－1，c＝－6解析：选B.由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝13，x2＝12，由根与系数的关系得x1＋x2＝13＋12＝－5a，x1x2＝13×12＝ca，解得a＝－6，c＝－1.栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式不等式(2x－5)(x＋3)0的解集为________．答案：x－3x52栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－20；(4)－12x2＋3x－50.解不含参数的一元二次不等式栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式【解】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝250，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx＜－3或x－12.(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式(3)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x2－6x＋100，Δ＝(－6)2－40＝－40，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式1．不等式－2x2＋x＋30的解集是()A.{x|x－1}B.xx32C.x－1x32D.xx－1或x32栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式解析：选D.不等式－2x2＋x＋30可化为2x2－x－30，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝32，又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋30的解集是xx－1或x32，故选D.栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式2．解不等式：－2x2－3x≤10.解：原不等式等价于不等式组x2－3x－2①，x2－3x≤10②，不等式①可化为x2－3x＋20，解得x2或x1.不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.故原不等式的解集为{x|－2≤x1或2x≤5}．栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.【解】①当a＝0时，原不等式即为－x＋10，解得x1.②当a0时，原不等式化为x－1a(x－1)0，解得x1a或x1.③当a0时，原不等式化为x－1a(x－1)0.若a＝1，即1a＝1时，不等式无解；若a1，即1a1时，解得1ax1；若0a1，即1a1时，解得1x1a.解含参数的一元二次不等式栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式综上可知，当a0时，不等式的解集为xx1a或x1；当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式含参一元二次不等式的解法栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式解关于x的不等式x2＋x－a(a－1)0，(a∈R)．解：因为关于x的不等式x2＋x－a(a－1)0，所以(x＋a)(x＋1－a)0，当－aa－1，即a12时，xa－1或x－a，当a－1－a，即a12时，x－a或x＞a－1，栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式当a－1＝－a，即a＝12时，x≠－12，所以当a12时，原不等式的解集为{x|xa－1或x－a}，当a12时，原不等式的解集为{x|x－a或xa－1}，当a＝12时，原不等式的解集为xx≠－12，x∈R.栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为xx13或x12，求关于x的不等式cx2－bx＋a0的解集．三个“二次”之间的关系【解】由题意知a0，13＋12＝－ba，13×12＝ca，栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式所以a0，b＝－56a0，c＝16a0，代入不等式cx2－bx＋a0中得16ax2＋56ax＋a0(a0)．即16x2＋56x＋10，化简得x2＋5x＋60，解得－3x－2，所以所求不等式的解集为{x|－3x－2}．栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式若将本例中“xx13或x12”改为“{x|13x12}”，其他条件不变，如何求解？解：由题意知a013＋12＝－ba13×12＝ca，即a0，b＝－56a0，c＝16a0.栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式代入不等式cx2－bx＋a0，得16ax2＋56ax＋a0(a0)，即16x2＋56x＋10，化简得x2＋5x＋60，解得x－2或x－3.所以所求不等式的解集为{x|x－2或x－3}．栏目导引探究案讲练互动测评案达标反馈应用案巩固提升预习案自主学习第二章一元二次函数、方程和不等式三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解