信息学奥赛——算法入门教程

全国青少年信息学奥林匹克联赛算法讲义算法基础篇..................................................................................................................................2算法具有五个特征：..........................................................................................................2信息学奥赛中的基本算法(枚举法)..........................................................................................4采用枚举算法解题的基本思路：......................................................................................4枚举算法应用......................................................................................................................4信息学奥赛中的基本算法(回溯法)..........................................................................................7回溯基本思想......................................................................................................................8信息学奥赛中的基本算法(递归算法)....................................................................................10递归算法的定义：............................................................................................................10递归算法应用....................................................................................................................11算法在信息学奥赛中的应用(递推法)..................................................................................14递推法应用........................................................................................................................14算法在信息学奥赛中的应用(分治法)..................................................................................18分治法应用........................................................................................................................18信息学奥赛中的基本算法(贪心法)........................................................................................21贪心法应用........................................................................................................................21算法在信息学奥赛中的应用（搜索法一）............................................................................24搜索算法应用....................................................................................................................25算法在信息学奥赛中的应用（搜索法二）............................................................................28广度优先算法应用............................................................................................................29算法在信息学奥赛中的应用（动态规划法）........................................................................32动态规划算法应用............................................................................................................33算法基础篇学习过程序设计的人对算法这个词并不陌生，从广义上讲，算法是指为解决一个问题而采用的方法和步骤；从程序计设的角度上讲，算法是指利用程序设计语言的各种语句，为解决特定的问题而构成的各种逻辑组合。我们在编写程序的过程就是在实施某种算法，因此程序设计的实质就是用计算机语言构造解决问题的算法。算法是程序设计的灵魂，一个好的程序必须有一个好的算法，一个没有有效算法的程序就像一个没有灵魂的躯体。算法具有五个特征：1、有穷性：一个算法应包括有限的运算步骤，执行了有穷的操作后将终止运算，不能是个死循环；2、确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义，读者理解时不会产生二义性。并且，在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。如在算法中不允许有“计算8/0”或“将7或8与x相加”之类的运算，因为前者的计算结果是什么不清楚，而后者对于两种可能的运算应做哪一种也不知道。3、输入：一个算法有0个或多个输入，以描述运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定义了初始条件。如在5个数中找出最小的数，则有5个输入。4、输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果，这是算法设计的目的。它们是同输入有着某种特定关系的量。如上述在5个数中找出最小的数，它的出输出为最小的数。如果一个程序没有输出，这个程序就毫无意义了；5、可行性：算法中每一步运算应该是可行的。算法原则上能够精确地运行，而且人能用笔和纸做有限次运算后即可完成。如何来评价一个算法的好坏呢？主要是从两个方面：一是看算法运行所占用的时间；我们用时间复杂度来衡量，例如：在以下3个程序中，（1）x:=x+1（2）fori:=1tondox:=x+1（3）fori:=1tondoforj:=1tondox:=x+1含基本操作“x增1”的语句x:=x+1的出现的次数分别为1，n和n2则这三个程序段的时间复杂度分别为O（1），O（n），O（n2），分别称为常量阶、线性阶和平方阶。在算法时间复杂度的表示中，还有可能出现的有：对数阶O(logn)，指数阶O(2n)等。在n很大时，不同数量级的时间复杂度有：O(1)O(logn)O(n)O(nlogn)O(n2)O(n3)O(2n)，很显然，指数阶的算法不是一个好的算法。二是看算法运行时所占用的空间，既空间复杂度。由于当今计算机硬件技术发展很快，程序所能支配的自由空间一般比较充分，所以空间复杂度就不如时间复杂度那么重要了，有许多问题人们主要是研究其算法的时间复杂度，而很少讨论它的空间耗费。时间复杂性和空间复杂性在一定条件下是可以相互转化的。在中学生信息学奥赛中，对程序的运行时间作出了严格的限制，如果运行时间超出了限定就会判错，因此在设计算法时首先要考虑的是时间因素，必要时可以以牺牲空间来换取时间，动态规划法就是一种以牺牲空间换取时间的有效算法。对于空间因素，视题目的要求而定，一般可以不作太多的考虑。我们通过一个简单的数值计算问题，来比较两个不同算法的效率（在这里只比较时间复杂度）。例：求N！所产生的数后面有多少个0（中间的0不计）。算法一：从1乘到n，每乘一个数判断一次，若后面有0则去掉后面的0，并记下0的个数。为了不超出数的表示范围，去掉与生成0无关的数，只保留有效位数，当乘完n次后就得到0的个数。（pascal程序如下）vari,t,n,sum:longint;begint:=0;sum:=1;readln(n);fori:=1tondobeginsum:=sum*i;whilesummod10=0dobeginsum:=sumdiv10;inc(t);{计数器增加1}end;sum:=summod1000;{舍去与生成0无关的数}end;writeln(t:6);end.算法二：此题中生成O的个数只与含5的个数有关，n！的分解数中含5的个数就等于末尾O的个数，因此问题转化为直接求n！的分解数中含5的个数。vart,n:integer;beginreadln(n);t:=0;repeatn:=ndiv5;inc(t,n);{计数器增加n}untiln5;writeln(t:6);end.分析对比两种算法就不难看出，它们的时间复杂度分别为O（N）、O（logN）,算法二的执行时间远远小于算法一的执行时间。在信息学奥赛中，其主要任务就是设计一个有效的算法，去求解所给出的问题。如果仅仅学会一种程序设计语言，而没学过算法的选手在比赛中是不会取得好的成绩的，选手水平的高低在于能否设计出好的算法。下面，我们根据全国分区联赛大纲的要求，一起来探讨信息学奥赛中的基本算法。信息学奥赛中的基本算法(枚举法)枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。能使命题成立者，即为问题的解。采用枚举算法解题的基本思路：（1）确定枚举对象、枚举范围和判定条件；（2）一一枚举可能的解，验证是否是问题的解下面我们就从枚举算法的的优化、枚举对象的选择以及判定条件的确定，这三个方面来探讨如何用枚举法解题。枚举算法应用例1：百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在，请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才能刚好用一百块钱买一百只鸡？算法分析：此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z)为判定条件，穷举各种鸡的个数。下面是解这个百鸡问题的程序varx,y,z:integer;beginforx:=0to100dofory:=0to100doforz:=0to100do{枚举所有可能的解}if(x+y+z=100)and(x*3+y*2+zdiv3=100)and(zmod3=0)thenwriteln('x=',x,'y=',y,'z=',z);{